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《數學系（點集拓撲學）》教學大綱
學時：51 學時 學分：3
適用專業：數學與應用數學專業
大綱執筆人：李伯權 大綱審定人：孫國正
一、說明
1、課程的性質、地位和任務
拓撲學是基礎性的數學分支，它研究幾何圖形在連續變形(即拓撲變換)
下保持不變的性質，即拓撲性質。目前，拓撲學的概念、方法和理論已經
廣泛地滲透到現代數學以及鄰近學科的許多領域，并且有了日益重要的應
用；又鑒于在今后中學數學的教學改革中有可能滲入某些拓撲知識，因此
無論從數學教材的現代化和師范性的要求來看，本課程的設置都是必要
的。點集拓撲學又稱一般拓撲學，它是拓撲學的基礎，它主要研究拓撲空
間的自身結構與其間的連續映射的學科。
本課程主要介紹點集拓撲學的基本概念和基礎理論，通過本課程的學
習可以使學生從較高觀點觀察、分析已學過的數學分析、函數論和幾何的
內容，加深對這些內容的認識與理解，并為進一步學習現代數學提供必要
的基礎。
2、課程教學的基本要求
（1）通過本課程的學習，學生應掌握點集拓撲的一些基本概念與應
用拓撲學解決實際問題的能力。以便為以后進一步學習、研究
現代數學打好基礎；另一方面培養學生理論聯系實際和分析問
題解決問題的能力。
（2）系統掌握點集拓撲的基本知識。其基本內容包括：拓撲空間和
連續映射的定義及其基本性質，構造新的拓撲空間的方法，各
種拓撲不變性質，如連通性、分離性、緊性、度量空間的完備
性等以及這些拓撲不變性之間的相互關聯，這些拓撲不變性的
可積、可遺傳等性質，基本群及其應用。掌握點集拓撲中的證
明方法。
（3） 本課程由于是數學專業大四畢業班的選修課程，課時較少，授
課時應靈活選擇教學內容，合理安排。
3、課程教學改革
本課程注重培養學生高度的抽象思維能力、邏輯思維能力以及空
間想象能力。在講授此課程時，要注重本課程與相關課程《數學分析》
等之間的聯系。
二、大綱內容
第一章 拓撲空間與連續映射（15 課時）
[內容要點]
樸素集合論（集合、關系、映射）， 度量空間的基本概念， 拓
撲空間與連續映射，領域、導集、閉集、閉包、內部，邊界， 拓撲
的基和子基，拓撲空間中的序列。
[教學要求]
本章要求學生掌握集合的一些基本概念，特別是對集合的運算，
要比較熟練的掌握，要求學生掌握拓撲空間的定義、幾中典型的拓撲
空間的例子，了解導集、閉集、閉包、基、子基等概念，掌握連續映
射的特征。
第二章 子空間， 有限積空間，商空間（6 課時）
[內容要點]
子空間， 有限積空間，商空間
[教學要求]
本章介紹通過已知的拓撲空間構造新的拓撲空間的三種慣用的方法。
要求掌握拓撲空間及其子空間的內在聯系與區別，掌握有限積拓撲空
間及其空間的內在聯系與區別，了解產生商空間的幾何背景（莫比烏
斯帶、環面及克萊因瓶等）。
第三章 連通性（6 學時）
[內容要點]
連通空間，連通性的某些簡單應用，連通分支與局部連通空間
道路連通空間
[教學要求]
掌握拓撲空間的幾種拓撲不變性質，包括連通性、局部連通性
和道路連通性，并理解它們的某些簡單的應用（介值定理、不動點定
理、Boruk-Ulam 定理及其高維情形），能夠用來區分一些互不同胚
的空間。掌握一些在連續映射下保持不變的性質、商性質、有限可積
性質。
第四章 有關可數性公理（3 學時）
[內容要點]
第一和第二可數性公理， 可分空間， Lindelof 空間
[教學要求]
本章要求學生掌握第一和第二可數性的概念及其拓撲不變性，會
判斷具體空間的可數性，了解可分空間及林德勒夫空間。
第五章 分離性公理（6 學時）
[內容要點]
10
, TT ，Hausdorff 空間 正則、正規， 3 4
,T T 空間 完全正規空間，
Tychonoff 空間
[教學要求]
本章要求學生掌握 4210
,,, TTTT 正則、正規空間的概念和他們之間
的區別和聯系。特別注意其中一些反例的選取，了解 Urysohn 引理和
Tietze 擴張定理的內容
第六章 緊致性（9 學時）
[內容要點]
緊致空間.緊致性與分離性公理.歐式空間中的緊致子集.幾種緊
致性的關系.度量空間中的緊致性.局部緊致空間，仿緊致空間
[教學要求]
掌握緊致子集的定義及判斷一個子集是緊致子集的方法（這些
方法哪些是充要條件）.掌握緊致性是否是連續映射可保留的，
是否是可遺傳的、有限可積的．掌握緊致空間中各分離性公理
的關系.掌握 Hausdorff 空間中緊致子集的性質. 掌握新定義
的幾種緊致性的定義及它們之間的關系．掌握度量空間中的緊
致空間、可數緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之間的關系．度
量空間（特別是 ）中的緊致性性質要掌握．掌握局部緊致空
間、仿緊致空間的定義及性質。掌握局部緊致空間、仿緊致空
間中各分離性公理空間之間的關系。掌握局部緊致空間、仿緊
致空間與緊致空間之間的關系．
第七章 基本群及其應用（6 學時）
[內容要點]
道路類及其乘法。基本群及其性質。基本群的計算：圓周的基本群。
2 維的 Bronwer 不動點定理。Jordan 分割定理。
[教學要求]
理解定端同倫與道路類的概念；理解道路類乘法的定義與性質；理解
與掌握基本群的定義與性質；理解與掌握由連續映射所誘導的基本群
之間的同態的定義與性質。掌握計算（圓周的）基本群的方法。能用
圓周的基本群來解決一些實際問題，如證明代數基本定理與 2 維的
Bronwer 不動點定理。
三
1 本課程考核方式、方法: 閉卷筆試
2 教學參考書目:
熊金城 《點集拓撲講義》高等教育出版社 第三版 2004
尤承業 《基礎拓撲學》 北京大學出版社 2004
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