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數學專業《實變函數》教學大綱
學時：54 學時 學分：3
理論學時：54 學時
適用專業：數學與數學應用
大綱執筆人：徐際宏 大綱審定人：陳懷軍
說明
實變函數是高等師范院校數學專業本科的一門必修課程。它是數學分析課程內容的深化
與發展，是近代分析數學的基礎，在分析數學系列課程中起著承上啟下的作用。
本大綱是根據教育部 1980 年頒發的高等師范院校數學專業本科實變函數論與泛函分析教學
大綱，并充分考慮到當前國內高等師范院校教學改革迅速發展的現狀編寫制定的，以 n 維歐
氏空間及其上的廣義實值函數為主要討論對象，以勒貝格（Lebesgue）測度和積分理論為中
心內容，介紹實變函數論的基本知識，以期達到讓學生初步熟悉與掌握實變函數論的基本理
論與基本思想方法，加深對數學分析和其他相關課程內容的理解，提高數學素養，為進一步
學習現代數學理論打下初步基礎的目的。
由于總學時安排較少，完成大綱的全部內容會有一定困難，但必須保證基本內容的完
成，對于大綱中一部分帶*號的內容，教師可視具體情況決定取舍。
本課程按要求安排總學時 54.
大綱內容
一．集合與基數（7 學時）
1． 集合的概念及集合的運算
2． 對等與基數
3． 可數集
4． 不可數集
*5.半數集與 Zorn 引理
二．歐氏空間中的點集（7 學時）
1．度量空間和 n 維歐氏空間
2．聚點、內點、界點
3．開集、閉集、完全集
4．直線中開集、閉集、完全集的構造
5．稠密與疏朗、Cantor 等
6．關于 R
n
的基本定理
三．勒貝格測度（8 學時）
1．Lebesgue 外測度
2．L 可測集及其性質
3．L 可測集與 Bord 可測集
*4.不可測集
四．可測函數（10 學時）
1．可測函數的定義及其充分必要條件
2．可測函數的性質
3．可測函數列的幾乎處處收斂，依測度收斂，近一致收斂的概念以及它們之間的關系
（EropoB 定理、Riesz 定理、Lebesgue 定理）
4．可測函數函數的結構、л у э и н 定理
五．勒貝格積分（14 學時）
1．Lebesgue 積分的定義（⑴有限測度上有界可測函數；⑵一般可測集上非負可測函數；，
⑶一般可測集上一般可測函數三種情形逐步擴充定義。）
2．L 積分的性質
3．L 積分與 R 積分之間的關系
4．積分的極限定理（Lebesgue 控制收斂定理、Len 定理、Fatou 定理）
5．R 可積的充要條件
6．L 積分的幾何意義、Fubini 定理
六．微分與不定積分（8 學時）
1．有界變差函數
2．*維它(Vitali)覆蓋定理，Lebesgue 單調函數微分定理（證明不講）
3．不定積分與絕對連續函數
*4.Lebesgue-Stieltjies 積分
教學參考書目：
程其襄等編 實變函數與泛函分析基礎（第二版） 高等教育出版社 2003
夏道行等 實變函數論與泛函分析（第二版）上冊 高等教育出版社 1985
周民強 實變函數（第二版） 北京大學出版社
Torchinsky A，Real Variables，New York ：Addison-Wesley Pub. Comp-Inc 1988
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