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《泛函分析》教學大綱
課程編號：
總學時：51
適用對象：數學與應用數學專業本科
先修課程：數學分析、實變函數
使用教材：《實變函數與泛函分析基礎》程其襄、張奠宙、魏國
強、閻革興、錢自強（編），
高等教育出版社， 1983
參考書： 《實變函數與泛函分析概要》（下）王聲望、鄭維行，
高等教育出版社， 1996（第二版）
《實變函數與泛函分析》(下)夏道行等，
高等教育出版社， 1985(第二版)
考核形式：考查（閉卷）
教學環境：課堂
一、 本課程的教學目的與要求
《泛函分析》是 20 世紀隨積分方程、微分方程、量子力學
等發展起來的一門重要的數學學科。它綜合運用分析、代數、幾
何的觀點和方法研究分析數學中的問題，所以由此產生的概念、
定理和方法就更加概括，更加深刻。它有力地推動其它數學分支
的發展，且在微分方程、概率論、量子理論、現代控制論、工程
技術中有廣泛的運用。
通過本課程的學習，使學生學會抽象分析的方法，熟練掌
握各種空間的結構理論、算子理論、Banach 空間的基本定理和
算子譜論。培養學生的思維能力、創新能力、分析問題與解決問
題的能力。
二、 課程的主要內容
本課程主要介紹 Banach 空間的基本定理，如 Hahn-Banach
延拓定理、一致有界原理、逆算子定理、閉圖象定理、線性連續
泛函的表示定理等；Hilbert 幾何學；度量空間的完備性、可分
性、連續映照、壓縮映照等。
三、 本課程的內容及學時分配
本課程為一學期，每周 3 學時。
第六章 度量空間和線性賦范空間（15 學時）
1． 度量空間的進一步例子
離散度量空間，序列空間，有界函數空間，可測函數空
間。
2． 度量空間中的極限、稠密集、可分空間
點列極限，有界集，幾類度量空間點列收斂的特征，稠
密集，可分空間。
3． 連續映照
映照的連續性，連續映照的性質。
4． 柯西點列和完備度量空間
柯西點列，完備度量空間的性質及例子。
5． 度量空間的完備化
等距同構，度量空間的完備化。
6． 壓縮映照及其應用
壓縮映照的概念，壓縮映照原理及應用。
7． 線性空間
線性空間的概念及例子，線性無關集，有限維和
無限維線性空間。
8． 線性賦范空間和巴拿赫空間
范數公理，線性賦范空間的概念及例子，有限維線性
賦范空間的性質。
學習本章應掌握度量空間的基本概念，幾類度量空間點列收
斂的特征，連續映照的性質，壓縮映照原理，范數公理，經典賦
范線性空間。了解度量空間的完備化理論及有限維線性賦范空間
的性質。
第七章 線性有界算子和線性連續泛函（6 學時）
1． 線性有界算子和線性連續泛函
線性有界算子的概念及性質，算子范數，線性有界算子
和線性連續泛函的例子。
2． 線性算子空間和共軛空間
線性有界算子空間，共軛空間，等距映照，經典線性賦
范空間的共軛空間。
3． 廣義函數大意
基本空間，廣義函數，廣義函數的導數。
學習本章應掌握線性有界算子的概念及性質，算子范數，
共軛空間，經典空間的共軛空間。了解廣義函數的概念。
第八章 內積空間和希爾伯特（Hilbert）空間（12 學時）
1．內積空間的基本概念
內積空間的基本概念，內積空間的性質和特征。
2．投影定理
完備凸子集，極小化向量定理，直交性，直交補，投
影定理。
3．希爾伯特空間中的就范直交系
就范直交系，完全就范直交系，Hilbert 空間中的就
范直交系的特征，Schmidt 直交化法，Hilbert 空間的
同構理論。
4．希爾伯特空間上的線性連續泛函
Riesz 定理，Hilbert 共軛算子。
5．自伴算子、酉算子和正常算子
自伴算子、酉算子和正常算子的概念及性質。
學習本章應掌握內積空間的概念及性質，直交性，投影
定理，就范直交系，Riesz 定理，自伴算子、酉算子和正常算
子的概念。了解 Schmidt 直交化法，自伴算子、酉算子和正
常算子的性質。
第九章 巴拿赫空間中的基本定理（9 學時）
1． 泛函延拓定理
次線性泛函，Hahn-Banach 延拓定理。
2．C[a,b]的共軛空間
Riesz 表示定理，正規化囿變函數空間。
3. 共軛算子
共軛算子的概念及性質。
4. 綱定理和一致有界性定理
疏朗集,第一、二綱集，Baire 綱定理，一致有界性定
理及其應用。
5．強收斂、弱收斂和一致收斂
線性有界算子序列的一致收斂、強收斂和弱收斂的
概念及例子，算子強收斂的特征，點列強收斂和弱收
斂。
6．逆算子定理
開映照，逆算子定理。
7．閉圖象定理
閉算子，閉圖象定理。
學習本章應掌握 Hahn-Banach 延拓定理，一致有界性定
理，逆算子定理和閉圖象定理，算子序列及點列的各種收
斂。了解 C[a,b]空間線性連續泛函的 Riesz 表示定理。
第十章 線性有界算子的譜（9 學時）
1．譜的概念
正則算子，各種譜的定義。
2． 線性算子譜的基本性質
線性有界算子譜集的閉性及有界性。
3． 緊算子和全連續算子
緊集和相對緊集，緊算子或全連續算子的性質及例
子。
4． 自伴全連續算子的譜論
自伴全連續算子譜的性質。
學習本章應掌握各種譜的定義，有界線性算子譜的有界閉
性，全連續算子的概念及性質。了解自伴全連續算子譜理論。
四、 教學重點與難點
1．重點： 度量空間、線性賦范空間、內積空間、算子空間、
共軛空間等各類空間的結構理論，各種收斂性，算
子理論，線性連續泛函的表示定理，巴拿赫空間中
的基本定理。
2．難點： 完備性與綱定理，Hahn-Banach 延拓定理，逆算
子定理，一致有界性定理，線性連續泛函的表示定
理，自伴全連續算子的譜理論。
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