安徽師范大學計算機專業《高等數學》大綱本科教學大綱

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計算機專業（本科）
《高等數學》教學大綱
說明
《高等數學》是計算機科學與技術專業的一門重要的基本課。通過本課程的學習要
求學生獲得高等數學最基本的知識和理論，以及熟練的運算技能和方法，為學生學習后
繼課程提供必要的數學工具，并為進一步學習數學和計算機專業課打下基礎。
本課程以闡述數學的系統知識為主，其主要內容為一元函數微積分、空間解析幾何
與向量代數、多元函數微積分、無窮級數、常微分方程。
本課程教學總學時為 153 學時，習題課貫穿在全教學過程中。本大綱所列內容與每
章教學時，教師可作適當調整。
大綱內容
一、函數、極限與連續（２0 學時）
１函數
函數的概念：常量、變量、函數的定義及表示法、分段函數、反函數。
函數的簡單性質：有界性、單調性、奇偶性、周期性
基本初等函數及其圖形：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。
復合函數、初等函數。
２極限
數列的極限：數列極限的 N?? 定義，收斂數列的性質及四則運算法則，單調有界
數列必有極限定理推出 e 的定義 e
n
n
n
??
??
)
1
1(lim .
函數的極限：函數極限的 ?? ? 定義及 X?? 定義，函數的左、右極限及其與函數極
限的關系，函數極限的四則運算法則，兩邊夾定理，兩個重要極限。
1
sin
lim)1(lim)
1
1(lim
0
1
0
?????
???? x
x
ete
x x
t
t
x
x
無窮小量和無窮大量：無窮小量和無窮大量的定義及兩者的關系，無窮小量的性質，
無窮小量階的比較。
３連續
函數連續的概念：函數在連續的三種定義，左連續馬右連續，函數的間斷點及其
分點。
連續函數的運算與初等函數的連續性。
閉區間上連續函數的性質：最大值和最小值定理、有界性定理、介值定理。
內容處理建議：
１在講解函數有關概念時，可聯系觀有中學數學基礎，重點介紹區間、領域、分
段函數及復合函數等概念，不要求利用定義求極限的技巧。
２講授極限的 N?? 定義域或 ?? ? 定義時，著重講清概念，不要求利用定義求
限的技巧。
３要求學生熟練掌握二個重要極限，并會將一些極限問題轉化為上述重要極限形
式。
二、一元函數微分學
１導數馬微分（１2 學時）
導數的概念：由直線運動速度和曲線上切線的斜率引入導數定義及其幾何意義與物
理意義，單側導數，平面曲線的切線馬法線，可導馬連續的關系。
導數的四則運算法則，反函數的求導法則，基本初等函數的導數公式。
求導方法：復合函數的求導法，隱函數的求導法，對數求導法，由參數方程確定的
函數的求導法。
高階導數的概念
微分：微分的定義及其幾何意義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不
變性。
微分在近似計算中的應用。
內容處理建議：
１著重解決初等函數的求導問題，以及隱函數和由參數方程確定的函數的求導問
題。
２微分在近似計算中的略解或不解。
２中值定理與導數的應用（１4 學時）
中值定理：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理。
洛必達法則
函數單調性的判定法，函數的極值與極值點的概念及其求法，最值問題，曲線的凹
凸性、拐點及其求法，曲線的水平漸近線與垂直漸近線及其方法，函數作圖。
曲率，方程的近似解。
內容處理建議：
１洛必達法則可不證，著重在于會用洛必達法則求各種類型未定式的極限。
２曲率這部分內容可只介紹弧微分概念及其公式。
３方程的近似解可略講或不講。
三、一元函數積分學
１不定積分（１2 學時）
不定積分的概念：原函數與不定積分的定義及幾何意義，原函數存在定理，不定積
分的性質。
不定積分法：基本積分公式，第一換元法（即湊微分法），第二換元法，分部積分
法。
幾種特殊類型函數的積分：有理函數的積分，三角函數有理式的積分，簡單無理函
數的積分。
積分表的使用
內容處理建議：
積分表的使用可不講。
２定積分及其應用（17 學時）
定積分的概念，由曲邊梯形的面積引出定積分定義及其幾何意義，定積分的性質及
中值定理。
微積分基本公式：可變上限的積分及其求導定理，牛頓一萊布尼茨公式。
定積分的計算方法：換元法，分部積分法。
定積分的近似計算；梯形法，拋物線法。
定積分的應用：平面圖形的面積，旋轉體體積，平行截面面積為已知的立體的體積，
平面曲線的弧長；變力作功，水壓力，引力，平均值，均方根
廣義積分：收斂，發散，計算方法，Г -函數。
內容處理建議：
１對于在定積分的應用中導出的一些計算公式，它們固然為計算有關問題提供了
方便，然而更為重要的是通過這些公式的導出，要求學生掌握運用定積分的元素法解決
實際問題。
２定積分的近似計算可不講。
四、空間解析幾何與向量代數（１6 學時）
１向量代數
空間有角坐標系：建立空間直角坐標系，兩點間距離及定比分割公式。
向量的線性運算：加法、減法、數乘。
向量的數量積：二向量的夾角，兩向量垂直的充要條件。
向量的向量積：二向量平行的充要條件。
２平面與空間直線
平面方程：點法式方程，一般式方程。
兩平面平行的條件，兩平面垂直的條件，點到平面的距離。
空間直線方程：對稱式方程（又稱點向式或標準式方程），一般式方程，參數式方
程。
直線與平面的相互關系。
３簡單曲面與空間曲線
球面、柱面與錐面，旋轉曲面，二次曲面標準方程舉例。
空間曲線的一般方程與參數方程，空間曲線在坐標面上的投影。
內容處理建議：
教會學生用平行截面來討論曲面的形狀，并作出一些簡單二次曲面的草圖及利用直
觀模型等加強培養學生的空間想象力
五、多元函數微積分學
１多元函數微分學（18 學時）
多元函數的概念：區域，多元函數的定義、極限與連續性。
偏導數與全微分：偏導數的定義及計算法，高階偏導數，全微分的定義，全微分存
在的條件及與連續、偏導間的關系。
復合函數和隱函數的微分法
偏導數的應用：幾何方面的應用（切線與法平面，切平面與法線），多元函數的極
值和最值（無條件極值與條件極值），方向導數與梯度。
２多元函數積分學（26 學時）
二重積分：二重積分的定義和性質，利用直角坐標和極坐標計算二重積分，二重積
分的應用（曲面的面積及平面薄片的重心、轉動慣量和對使點的引力）。
三重積分：引入柱面坐標、球面坐標，三重積分的定義及性質，利用柱面坐標和球
面坐標計算三重積分。
曲線積分：第一型曲線積分的定義及計算方法，第二型曲線積分的定義及計算方法，
兩類曲線積分之間的聯系，格林公式，第二型曲線積分與無關的條件。
曲面積分：第一型曲面積分的定義與計算方法，第二型曲面積分的定義與計算方法，
兩類曲面積分之間的聯系，高斯公式，通量與散度，斯托克斯公式，環
流量與旋度。
內容處理建議：
１重點介紹二元函數的相關概念，等階偏導數也以二階的重點。
２通量與散度，環流量與旋度可不講。
六、無窮級數（１0 學時）
１常數項級數
數項級數：數項級數的概念，級數的收斂與發散，級數的基本性質，級數收斂的必
要條件。
正項級數的收斂法則：比較判別法，比值判別法。
任意項級數：絕對收斂，條件收斂，交錯級數，萊布尼茲判別法。
２冪級數
冪級數的概念：函數項級數及其收斂域，冪級數概念及其收斂區間，由斂半徑的求
法。
冪級數的四則運算及逐次積分和求導法則。
函數展開成冪級數：泰勒級數，麥克勞林級數，冪級數展開式。
３傅里葉級數
三角函數系的正定性，傅里葉系數公式，函數的傅里葉級數，奇函數和偶函數的傅
里葉級數，函數展開成正弦級數或余弦級數，周期為 2l 的周期函數的傅里葉級數。
內容處理建議：
傅里葉級數可簡講。
七、微分方程（8 學時）
微分方程的概念：定義、階、解、通解、初始條件，特解。
一階微分方程：可分離變量的方程，齊次方程，線性方程。
全微分方程
可降階方程： )(
)(
xfy
n
? 型方程， ),( yxfy ???? 型的微分方程， ),( yyfy ???? 型
的微分方程。
線性微分方程的解的結構，二階常系數齊次線性方程的解法及二階常系數非齊次線
性方程的解法。
微分方程的冪級數解法。
內容處理建議：
１重點介紹一階微分方程和可降階微分方程的解法。
２微分方程的冪級數解法可不講。

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