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數學與應用數學專業（本科）
《復變函數》教學大綱
學時：51 學時， 學分：3 學分
理論學時：51 學時， 實驗與討論學時：10 學時
適用專業：數學與應用數學
大綱執筆人：陳懷軍 大綱審定人：束立生
說 明
復變函數是數學與應用數學專業的一門重要的專業基礎課，它的理論和方法被廣泛
應用于數學其它分支以物理學、工程技術等學科。
本課程的教學目的是使學生掌握復變函數的基本理論和；方法，使得學生能夠使用
其理論和方法分析和解決有關的理論及實際問題。
根據新的教學計劃，課程從原計劃的 72 教學學時減少為 51 教學學時，所以本大綱
是在原有大綱的基礎上，根據教學的實際情況在內容安排及講授時數、順序上作了相應
的調整，以適應新計劃的要求。
本課程教學總時數為 51 學時。習題時采用每章一次方式處理。本大綱所列內容與
第章時僅供參考。教師可作適與調整。
教 學 大 綱
一、復數與復變函數（4 學時）
復數：復數域，復平面，復數的幾種表示法，復數在幾何上的應用舉例。
復平面上的點集：復平面上的拓撲，區域與約當曲線。
復變函數：復變函數的概念，復變函數的極限與連續性。
球面與無窮遠點：復球面，擴充復平面上的幾個概念。
內容處理建議：
１ 在介紹復數的相關內容時，可稍快。
２ 在介紹平面點集和復變函數的相關內容時，可讓學生對照實變函數的相頻內容
加以對照和理解。
３ 注意學生對復球面與無窮遠點概念理解的正確性。
二、解析函數（８學時）
解析函數的概念與 C-R 條件：解析函數的導數及其簡單性質，柯西一黎曼（C-R）
條件。
初等解析函數：指數函數，對數函數，一般冪函數與一般指雙曲函數。
初等多值函數：根式函數，對數函數，一般冪函數與一般指數函數，具有多個有限
支點的情形，反三角函數與反雙曲函數。
內容處理建議：
１ 重點介紹解析函數的概念及柯西一黎曼條件。
２ 重點介紹指數函數、三角函數、冪函數、對數函數的基本特征，要求學生與相
應的實初等函數進行對照，找出它們的不同之處。
３ 在介紹多值函數時可借助輻角函數作為切入點。
４ 其它內容可根據課時情況作靈活處理（簡講或不講）。
三、復變函數的積分（7 學時）
復變函數的概念及其簡單性質：復積分的定義、計算及基本性質。
柯西積分定理：Cauchy 積分定理及其推廣，不定積分。
柯西積分公式及推論：Cauchy 不等式，劉維爾定理，摩勒拉定理，
＊
柯西型積分。
解析函數與調和函數的關系。
＊
平面向量場――解析函數的應用（一）：流量與環量，無源、漏的無旋流量，復勢。
內容處理建議：
１ 主要介紹一般復積分的計算，了解復積分的基本性質。
２ 重點介紹 Cauch 定理和 Cauchy 公式，并能利用它們計算某些復積分。
３ 對于 Cauchy 定理的證明僅將證明思路作一介紹。
四、解析函數的冪級數表示法(6 學時）
復級數的基本性質：一致收斂，Weierstrass 定理，和函數性質。
冪級數：斂散性，收斂半徑及收斂圓盤的確定，和函數的解析性。
解析函數的 Taylor 展式：Taylor 定理，收斂圓周上的斂教性，初等函數的 Taylor
展式。
解析函數零點的孤立性、唯一性定理。最大模原理。
內容處理建議：
１ 主要介紹復函數次級數的分析性質，著重介紹冪級數的性質。
２ 重點介紹解析函數的 Taylor 展式，并討論它們在收斂圓上的情況，為后面冪級
級開拓打下基礎。
３ 闡述解析函數零點的孤立性、唯一性、最大模原理及應用也可放在保形映射中
介紹。
五、解析函數 Laurent 展式與孤立奇點（８學時）
解析函數 Laurent 展式：雙邊冪級數，Laurent 定理及與 Taylor 定理的關系，解析函
數的 Laurent 展式求法。
解析函數的孤立奇點，孤立奇點的分類與判定，Schwarz 引理。
解析函數在無窮遠點的性質。
整析函數與亞純函數。
＊
平面向量場：奇點的流體力學意義，在電場力的應用。
內容處理建議：
１ 主要介紹解析函數 Laurent 展開及求法。
２ 著重于解析函數孤立奇點分類及判定的討論，為下章列數打下基礎。
３ 討論解析函數在無窮遠點的性質及整函數，亞微函數的性質。
六、殘數理論及其應用（８學時）
殘數的定義及殘數基本定理，解析函數在孤立奇點處殘數求法公式（包括無窮遠點
的殘數）。
殘數的應用：殘數理論在計算復積分及實積分中的應用（五種類型）。殘數應用二：
輻角原理與 Rouche 定理。
內容處理建議：
１ 理論上著重介紹殘數基本定理，并將它們與前面 Cauchy 定理及求某 Cauchy 公
式及求等公式加以比較。
２ 在積分計算上應用可分成兩部分：①在復積分應用，強調其簡明性、實用性，
②在實積分上分五個類型分別加以介紹，可以引例入手，加以總結。
３ 理論的應用主要介紹輻角原理與 Rouchè定理及其應用（如方程解的個數等）。
七、保形變換（１0 學時）
單葉解析函數及解析函數的保域性、保形性（導數的幾何意義）。
分式線性函數的定義及其特性：保圓性、保交此不變性、保對稱點性，兩個重要的
分式線性變換（上半平面 ? 單位圓）。
保形變換的 Riemann 存在定理與邊界對應定理，（最大模原理與 Schwary 引理）。
應用舉例：某些初等函數所構成的保形映射。
內容處理建議：
１ 主要介紹單葉解析函數作變換的保域性及保形性為后面的內容打下基礎。
２ 著重介紹線性變換的映射性質：保圓性、保交比不變性與保對稱點的變性。
３ 將保形變換的存在唯一性兩大定理先行介紹，為實例提供理論依據。兩個定理
著重介紹內容，可不作證明。另外最大模原理與 Schuarz 引理可放在此處講授。
４ 實例部分介紹著重培養學生用保形映射解決實際問題，此處的課時可相對多一
些。
*八、解析開拓（２～３學時）
解析開拓的概念
解析開拓的冪級數方法
＊
解析開拓的透弧開拓方法：對稱原理、Riemann-Schwarz 對稱原理。
＊
完全解析函數及 Riemam 面的概念。
＊
多角形區域的保形變換。
內容處理建議：
１ 主要介紹解析開拓的冪級數方法
２ 對稱原理可選擇特殊情形加以介紹，其它內容若時間緊可不作講解。
*九、調和函數（２學時）
調和函數的平均值公式與極值原理。
＊
Poisson 積分公式與 Dirichlet 問題。
內容處理建議：
１ 調和函數的平均值公式與極值原理的介紹主要與解析函數相尖的定理結合介
紹。因調和函數在前面的章節中已有涉及，也可將此部分內容分散于前面章節中介紹。
２ 本章其它部分為應用，如時間不夠，可讓學生自學。
注：加“＊”號內容為選講部分，教師可根據實際情況，適與取舍。
教學參考書目
鐘玉泉， 復變函數論（第三版）， 高等教育出版社，2004 年
余家榮，復變函數（第三版）， 高等教育出版社，2002 年
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