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分析方法與技巧
課程類型：數學與應用數學專業本科選修課 周課時：2
選修年級：數本二下或三下
設計與實施單位：數學計算機科學學院函數論教研室
開設目的與課程特點：《分析方法與技巧》是教數學與應剛數學專業本科重要基礎課《數學
分析》的延伸和深化。它的開設是本教研室集體教研活動和《數學分析》課程教學改革的一
個重要成果，鑒于《數學分析》教學周期長(2 年，四個學期)，內容多，對后繼課乃至學
生專業素質的養成影響大且深遠。隨著教學計劃的逐次改變，此課程的計劃學時逐步減少，
教學壓力很大，教師沒有時間引導學生對分析數學中的基本思想方法與技巧反復琢磨，深入
理解。為了彌補這方面的缺憾，本教研室幾位長期從事分析數學系列課程教學工作的教師在
三年集體教研活動的過程中形成共識，設計并開設了這門選修課。
《分析方法與技巧》以強化分析數學的“三基"(基本理論、基本思想、基本方法)訓
練，促進學生提高數學思維和創新能力為目標，從教學內容到教學模式都和傳統的課堂教學
大不相同。
課程內容均選白國內外數學專業文獻，每個專題都有閱讀材料，課前印發給學生。
教學模式：采取教師作引導，學生為中心，以學生自主學習討論為主的形式，分專題進
行，具體程序是：
1、閱讀文獻(課前或課內進行)；
2、教師引導(老師講解專題的背景，同顧和本專題有關的基礎知識，說明其內容、
思想、方法在《數學分析》理論和應用中的地位及作用)；
3、報告討論(學生持自己閱讀、準備的資料上臺報告，提出問題，進行討論)；
4、總結引伸(專題討論結束時，由老師對報告討論進行總結，并適當引伸，提出進
一步思考的問題)。
在各專題的教學過程中，注意發揮學生的主動學習、創新思維的精神和能力。必要時，
教師可在課前做一些組織、啟發、動員工作。
開設的具體目標：通過各專題按以上程序進行教學，希望有助于學生培養、提高下列
幾方面的能力與水平：
1、獨立思考與自主學習(包括查閱和研讀數學專業文獻)的能力；
2、專業表達(包括口頭表達、報告和書面表達、板書)能力；
3、創新思維與論文寫作的能力；
4、專業外語讀寫能力。
期未考查方式：每人寫小論文(或學習總結報告)1 篇。
成績評定： 以期末論文為主，結合各人在各專題報告討論中發言的表現評定學期總成
績。
課程內容大綱：
第一專題(6 學時)關于微分中值定理的證明
閱讀資料：
1、華東師大數學系編，數學分析(上冊)[M]，第三版，高教出版社，2001；
2、R．羅德，高等數學(第一卷)[M]，中譯本，高等教育出版社，1965 年，第 80-81
頁
貝；
3、Abian A，Aultimate proof of Rolle Theorem[J]，Amer．Math．Monthly,86(1979)，
484-485．
4、Samelson．H，On Rolle’S theorem[J]，Amer Math．Monthly,86(1979)，486；
5、Xu J ihong，An alternative approach about several theorems in calculus[J]，數學研究與
評論，26(2006)，no．1,63-66．
第二專題(4 學時)，關于實數系的構造
閱讀資料：
1、王建午、曹之江、劉景麟，實數的構造理論[M]，人民教育出版社，1981；
2、M，克萊岡，古今數學思想(第 4 卷)[M】，上海科技出版社，1979；
3、胡作幺、鄧明立，20 世紀數學思想[M]，山東教育出版社，1999；
4、華東師大數學系編，數學分析(上冊)[M]，第三版，高等教育出版社，2001。
第三專題(4 學時)，關于函數一致連續性的若干問題
閱讀資料：
1、Elysh，E．S，Laush，G L，and Levine，N，On the product of two uniformly continuous
functions on the line[J]，Amer Math．Monthly，67(1960)265—267；
2、劉儒珍，函數一致連續的一個等價命題[J]，天津師大學報，(1989)；
3、李文亮，函數在無窮區間上的一致連續性的判定[J]，高等數學，2(1985)；
4、殷建紅，一致連續函數的充分必要判別法[J]，寧夏大學學報，2(1987)。
第四專題(4 學時)關于 Abe 1 判別法和 Dirichlet 判別法的進一步討論
閱讀資料：
1、宗序平，關于 Dirichlet 和 Abel 判別法的必要性[J]，數學的認識與實踐，2(1 990)；
2、趙明方，Dirichlet 判別法的必要條件[J]，數學通報，7(1 983)；
3、羅敬輝，阿貝爾判別法的必要條件的探討[J]，數學通報，9(1 984)。
第五專題(4 學時)混沌(Chaos)理論簡介
閱讀資料：
1、Li．T．Y，Yorke J A，Amer Math．Maonthly,82(1975)985；
2、郝柏林，物理進展，3(1983)329：
3、井中，從平凡的事實到驚人的結果[J]，自然雜志，第 8 卷第 7 期(1985)532．538；
4、J，M 米爾諾，從微分觀點看拓撲[M]，上海科技出版社，1983；
5、Smale S．a，J Math，Economics，3(1976)107．
第六專題(4 學時)關于微積分中一些基本命題的統一處理
閱讀資料：
1、華東師大數學系編，數學分析(上冊)[M]，第三版，高等教育出版社，2001；
2、M，W Botsko，Aunified treatment of various theorems in elementary analysis[J]，Amer．
Math．Monthly,94(1987)450—452；
3、R．A Gordon，The use of tagged partitions in elementary real analysis[J]，Amer．Math．
Monthly,105(1998)：107—117；
4、M．W．Botsko etc，Stronger versions of fundamental theorem of calculus[J1，Amer．
Math．Monthly,93(1986)：294—296．
第七專題：(4 學時)不等式與凸函數
閱讀資料：
1、Akerberg B．，Aproof of arithmetic geometric mean inequality[J]，Amer．Math．Monthly；
70(1 963)，997-998；
2、Kong。ming Chong，An inductive proof of the A．M—G M inequality[J]，Amer．Math．
Monthly,83(1976)：657—658；
3、波利亞，數學分析中的問題與定理[M]，上?？萍汲霭嫔?，1981；
4、華東師大數學系編，數學分析(第三版)[M]，高等教育出版社，2001；
5、L，Maligranda，Holder 不等式與 Minkowski 不等式的簡單證明[J]，數學進展，1996，
15(1)，68—71；(譯自 Amer．Math．Monthly,1995，102(3)，256．259)
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