|
|
|
|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
—1—
數 學 專 業
《數學分析》教學大綱
學時：289 學時 學分：17
理論學時：289 學時
適用專業：數學與數學應用
大綱執筆人：徐際宏 大綱審定人：何宗祥
說明
數學分析是四年制本科院校數學類專業必修的重要課程，是
幾乎所有數學后繼課程的基礎。通過教學，使學生正確理解和掌握
數學分析的基本概念、基本理論，基本掌握數學分析中的論證方法；
較熟練地獲得本課程所要求的基本演算能力。通過本課程的學習使
學生具有較強的自學能力和運用所學知識解決相關問題的定性分
析、定量分析能力，為進一步學習數學專業課程打下必要的基礎。
本課程教學總時數約為 240+49=289 學時。習題課采用每章一次
方式處理。講授時數與習題課時數之比大致為 5 : 1.
本大綱所列內容與各章時數僅供參考。教師可作適與調整。
教學大綱
—2—
一、 函數（10+2 學時）
實數概述，絕對值與不等式。
區間與鄰域，確界原理。
函數概念，函數的幾種表示法，函數的四則運算，復合函數，反函數，基本初等函數，
初等函數。
具有某些特性的函數。
內容處理建議：
1． 簡要介紹實數性質及絕對值與不等式；
2． 重點闡述上、下確界概念及確界原理，這一部分是重點，也有一定的難度，可通
過例題和習題讓學生加強理解；
3． 在介紹一般函數概念的同時，強調基本初等函數和初等函數的重要性。強化學生
對一般性與特殊性之間辯證關系的認識。
二、 數列極限（8+2 學時）
數列，數列極限的ε-N 定義。
收斂數列的性質：唯一性、有界性、保序（號）性、迫斂性、四則運算法則。
數列極限存在的條件。
內容處理建議：
1．簡單介紹數列極限概念產生的歷史過程，從中看到嚴格的ε-N 定義產生的必然性
和重要性，使學生真正接受高度抽象、形式化的ε-N 定義。其次，通過對ε-N 定義的剖
析和一些典型例題的深入分析，使學生正確理解數列極限的ε-N 定義，并學會運用它來驗
證數列極限。
2．在介紹收斂數列的各種性質時，突出強調迫斂性定理是求極限的一種重要方法，
并指出用迫斂性求極限時的一些原則和方法。
4． 要求學生熟練掌握重要極限： e
n
n
n
??
??
)
1
1(lim ，并注意將一些數列極限轉化為上
述重要極限形式。
三、 函數極限（10+2 學時）
函數極限的ε-M 定義和ε-δ定義，單側極限。
函數極限的性質：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質、迫斂性、四則運
算。
—3—
函數極限存在的條件：歸結原則和柯西準則。
兩個重要極限。
無窮小量及其階的比較；記號 0，o，～；無窮大量及其階的比較。
內容處理建議：
1．在介紹各種類型的極限定義之前，先直觀描述極限，然后通過深入分析極限的含
義，導出極限的嚴格的形式化的定義。
2．要求學生熟練掌握函數極限的性質和兩個重要極限，并熟練用于證明或計算函數
極限。
四、 函數的連續性（10+2 學時）
連續性概念，間斷點及其分類，在區間上連續的函數。
連續函數的性質：局部有界性、局部保號性、四則運算、復合運算，閉區間上連續函
數的性質，反函數的連續性，一致連續性。
初等函數的連續性。
內容處理建議：
1．闡明連續性概念的重要性及連續性的直觀描述和嚴格定義之間的聯系。
2．重點分析并強調一致連續性的特征，以及它與連續性之間的重要差別。
五、實數的一些基本定理（10+4 學時）
確界與確界存在定理。區間套定理?？挛魇諗繙蕜t。致密性定理。聚點定理。有限復
蓋定理。
關于閉區間上連續函數性質的幾個定理的嚴格證明。
內容處理建議：
1．本章定理均在單調有界定理的前提下討論。
2．建議以區間套定理為主要工具證明其他定理。
3．在用關于實數完備性的幾個定理證明關于閉區間上連續函數性質的幾個定理的教
學過程中，應注意培養學生嚴密推理的能力。
六、導數與微分（12+2 學時）
導數概念：導數的定義（導數、左導數、右導數以及與連續性間關系）。導數幾何意
義、物理意義。導函數的概念。
求導法則：導數的四則運算。反函數的導數。復合函數的導數?；厩髮Х▌t與公式。
微分：微分概念。微分的運算法則（一階微分形式的不變性）。
—4—
近似計算與誤差估計。
高階導數及運算（注意：萊布尼茲公式）。高階微分。
參量方程所確定的函數的導數。
內容處理建議：
1． 以曲線的切線、直線運動的瞬時速度為背景，引入導數的概念。
2． 求導法則中著重講清復合函數的求導法則（鏈式法則）。
3． 微分的計算中應注意介紹一階微分形式的不變性以及應用微分近似計算及誤差
估計。
七、微分學基本定理與不定式極限（12+2 學時）
中值定理：費馬（Fermat）定理——予備定理。中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy
三大中值定理）。導數極限定理。
不定式極限：
0
0
型不定式極限。
?
?
型不定式極限。其它類型的不定式極限
（ ,,0 ?????
00
,0,1 ?
?
等類型）
泰勒定理。帶皮亞諾（Peano）型余項的泰勒公式。應用（近似計算，求極限）。
內容處理建議：
1． 著重介紹三大微分中值定理及其證明，它們是利用導數的局部性質推斷函數的整
體性態的有力工具。
2． 以導數為工具在求不定式極限時，應注意羅比塔（L'Hospital）法則成立的條件，
以及其它類型間的轉化方法。
3． 泰勒定理是用多項式近似表示函數并用以進行和近似計算與理論分析的一個重要
工具。注意介紹幾種估計及馬克勞林（Maclaurin）公式。
4． 利用 Taylor 公式進行近似計算時，注意與前章用（一階）微分進行近似計算比較。
八、運用導數研究函數的性質（10+2 學時）
函數的單調性。極值的必要條件。極值的兩個充分條件（第三個充分條件可作選講內
容）。最大值與最小值。
函數的凸性與拐點的概念。函數凸性的判定。函數凸性的應用。
漸近線。函數作圖。
方程近似解。
—5—
內容處理建議：
1． 注意介紹函數單調性（包括單調區間）的判定方法以及利用單調性證明一些不等
式的技巧。
2． 著重介紹函數極值的判定及特定情形下函數最大值，最小值的確定，并介紹它們
的應用。
3． 著重介紹函數凸性的定義及判定方法，并注意介紹它們的應用，如詹森（Jensen）
不等式等著名不等式，應用部分可作為學生討論用。
4． 著重講清函數作圖的步驟，并以實例說明。
九、不定積分（10+2 學時）
原函數與不定積分概念。基本積分表。線性運算法則。換元積分法。分部積分法。
有理函數積分法。三角函數有理式的積分.幾種無理函數的積分。
內容處理建議：
1．要讓學生明了原函數與不定積分的關系（注意與下一章“原函數存在定理”相呼
應），求原函數（與不定積分）運算和求導數（與微分）運算之間的關系，從而理解基本
積分公式的本質。
2．著力引導學生掌握和熟練運用不定積分的基本公式，線性運算法則和換元積分法、
分部積分法。注意基本積分運算的原則與技巧，這是本章的重點。
3．在講授有理函數，三角函數有理數以及幾種無理函數的積分法時，要讓學生理解
基本積分技術的一般應用思路和求這幾類函數積分的具體技巧。
十、定積分（14+2 學時）
曲邊梯形面積與變力作功——引出定積分概念。定積分定義。定積分的幾何意義?？?br/>積的必要條件。（達布）上和、下和及其性質。可積的充要條件。
可積的充分條件——可積函數類（閉區間上的連續函數，有有限個間斷點的有界函數，
單調有界函數）。
定積分的性質：線性運算性質，對區間的可加性、單調性、絕對可積性、積分（第一）
中值定理。積分第二中值定理。
微積分學基本定理（原函數存在定理）。Newton-Leibniz 公式。定積分的換元法。定
積分的分部積分法。
用 ?
x
dt
t1
1
定義對數函數，對數函數與指數函數的基本性質。
無窮限反常積分的概念，無界函數反常積分的概念。
內容處理建議：
—6—
1．深 刻理 解并 會應用 定積 分的 定義和 性質 ，變 上限 的定積 分及 其導 數，
Newton-Leibniz 公式，定積分的換元法與分部積分法等重點內容。
2． 關于函數可積性的討論，要求學生理解其思想與方法。
3． 反常積分概念是本章基本概念的自然延伸。要同時讓學生加深對定積分（及極限）
的概念與方法的理解，并注意與第“十三”部分呼應。
十一、定積分的應用（8+2 學時）
平面圖形的面積，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的體積。曲線的弧長與弧微
分、曲率、旋轉體的側面積。物理應用（壓力、功、引力、靜力距與重心等）。
平均值。
*定積分的近似計算（梯形法、拋物線）。
內容處理建議：
用定積分的基本思想和微元分析法貫穿各種應用問題，通過各種應用加深對積分思想
方法的理解。掌握用微元分析法解題的程序。
十二、數項級數（12+2 學時）
無窮級數概念——無窮級數與其部分和數列的關系。級數的收斂與發散。級數的簡單
性質。級數收斂的必要條件。級數收斂的 Cauchy 準則。
正項級數收斂的基本定理（ ? ?
n
nn
uu )0( 收斂的充要條件是：它的部分和數列? ?n
S 有
上界）。
比較判別法及其極限形式。比值（D`Alembert）判別法及其極限形式。根值（Cauchy）
判別法及其極限形式。
（Cauchy）積分判別法。拉貝（Raabe）判別法。
交錯級數，萊布尼茲（Leibniz）判別法。
阿貝爾（Abel）判別法。狄利克雷（Dirichlet）判別法。
絕對收斂與條件收斂。
*絕對收斂級數的重排定理。*絕對收斂級數的乘積（Cauchy 定理）。條件收斂級數的
黎曼（Riemann）定理。
內容處理建議：
1． 闡明級數與（其部分和）數列的聯系與轉化。
2． 講清一般項級數與正項級數之間的聯系，重視正項級數在討論數項級數時的基本
作用。
3． 講清一般項級數的絕對收斂與條件收斂的區別與聯系，注意這兩種收斂性的不同
性質與作用。
—7—
4． 對級數收斂的判別定理主要講明如何應用及應用中需要注意的問題。Abel變換（即
分部求和公式）值得重視。Abel 判別法與 Dirichlet 判別法的必要性可作簡單介紹（參見
宗序平：關于 Dirichlet 和 Abel 判別法的必要性，數學的實踐與認識，1990（），72-75）。
十三、反常積分（6+2 學時）
無窮限積分的絕對收斂與條件收斂。無窮積分與無窮級數的聯系。比較判別法及其極
限形式?？挛髋袆e法及其極限形式。積分第二中值定理。阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
無界函數反常積分的柯西準則。無界函數反常積分的絕對收斂與條件收斂。無界函數
反常積分的比較判別法?？挛髋袆e法及其極限形式。阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。無
界函數反常積分與無窮限反常積分的聯系。
內容處理建議：
1．注意兩型反常積分和無窮級數的聯系，定積分概念與性質以及函數極限概念與性
質的聯系；兩型反常積分相互間的聯系。
2．以無窮限反常積分為基礎，平行地建立無界函數反常積分的有關內容。
3．本章只討論兩型反常積分的斂散性問題。至于兩型反常積分的定義與簡單性質及
計算，可安排到定積分的最后一節。
十四、函數列與函數項級數（10+2 學時）
函數列的收斂與一致收斂。函數列在區間上一致收斂的充要條件。
函數項級數的收斂與一致收斂。函數項級數在區間上一致收斂的充分必要條件。
函數項級數在區間上一致收斂的充分條件：Weierstrass 優級數判別法。Abel 判別法。
Dirichlet 判別法。
一致收斂函數列的極限函數的連續性定理、逐項積分定理。逐項求導定理。一致收斂
函數項級數的和函數的連續性，逐項積分、逐項求導定理。
內容處理建議：
1．以函數列在區間上的（點態）收斂與一致收斂為基礎，建立函數項級數在區間上
的（點態）收斂與一致收斂的概念及性質。
2．深入講解一致收斂性概念，講清它和點態收斂之間的區別，選講典型例題說明“非
一致收斂”。
3．緊密聯系數項級數的有關內容，講述函數項級數的一致收斂性的判別定理，闡明
如何應用這些判別定理以及應用時應當注意的問題。定理的證明過程可講得簡略一些。
4．（與討論 Weierstrass 優級數判別法相配合）。通過舉例講清（或布臵作業讓學生
注意） ?
n
n
xu )( 在區間上一致收斂、絕對收斂及?
n
n
xu )( 一致收斂之間的區別與聯系。
5．在講述一致收斂的函數列或函數項級數的連續性、逐項積分、逐項求導定理的同
—8—
時，強調一致收斂性條件的重要性，但又要指出它只是充分條件。
十五、冪級數（8+2 學時）
Abel 第一定理。收斂半徑（收斂區間）與收斂域。冪級數的一致收斂性。
冪級數的性質：連續性、逐項積分、逐項微分、四則運算。
Taylor 級數與 Maclaurin 級數。
函數展開成冪級數的條件。初等函數的冪級數展開。函數的 Taylor 展開在近似計算
中的應用。
*用冪函數定義指數函數及正弦函數、余弦函數。
*復變量的指數函數與 Euler 公式。
內容處理建議：
1．通過討論收斂半徑與收斂區間（域）弄清它們在研究冪級數（作為一類特殊的“性
質好”的函數項級數）的一致收斂性方面的作用，注意與“函數項級數”部分的相應內容
之間的聯系。
2．在討論冪級數的性質時，要通過典型例題說明級數求和的一些簡單的基本的方法。
3．在講授 Taylor 級數時，要闡明它與前面的 Taylor 公式的區別與聯系。
4．對于函數的 Taylor 展開，要闡明它“直接展開”的根據、思想與方法步驟。更要
讓學生掌握“間接展開”的思想與方法。
5．舉例說明近似計算的思想與方法（包括數π、e 的近似計算與π、e 是無理數的證
明等）。
十六、Fourier 級數（10+2 學時）
三角級數、三角函數系的正交性。
以 2π為周期的函數的 Fourier 級數的收斂定理。
以 2π為周期的函數的 Fourier 展開。奇函數與偶函數的 Fourier 展開。以 2l 為周期
的函數的 Fourier 展開。
收斂定理的證明：Bessel 不等式。Riemann-Lebesgue 定理。Fourier 級數的部分和公
式。定理證明。
一致收斂性定理:Fourier 級數的逐項積分與逐項微分。Weierstrass 函數逼近定理。
內容處理建議：
1．通過 Fourier 級數的教學，要求學生掌握 Fourier 級數、Fourier 系數的概念及其
計算公式。并借助收斂定理弄清一函數與其 Fourier 級數之間的關系。
2．要求學會應用上述概念、公式和定理、按要求將函數展開成 Fourier 級數。
—9—
十七、多元函數的極限與連續（10+2 學時）
平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、閉域等）。
平面點集的基本定理——區域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。
二元函數概念。
二重極限。累次極限。
二元函數的連續性、復合函數的連續性定理、有界閉域上連續函數的性質。
n 維空間與 n 元函數的概念。
內容處理建議：
1．要求學生理解平面點集概念。平面點集的基本定理和有界域上連續函數的性質可
類比于一維直線中的相應定理介紹，不作證明。
2．二元函數、二重極限、二元函數的連續性等內容是本章重點，要強調它們和一元
函數中的相應概念之間區別（與聯系）。
十八、多元函數微分學（16+2 學時）
偏導數概念及其幾何意義、全微分概念、全微分的幾何意義及應用。
復合函數的求導法則及全微分計算，一階微分形式的不變性。
方向導數與梯度。
高階偏導數、高階微分。
二元函數的微分中值定理與泰勒公式。二元函數的極值。
內容處理建議：
1． 應重點加強偏導數的計算訓練，特別是復合函數的偏導計算。
2． 全微分概念要對照一元函數微分概念講解。要弄清可微性條件，可微與連續、可
微與偏導存在，可微與偏導連續之間的區別與聯系。
3． 二元函數極值也應對照一元函數極值講解，強調多元函數極值問題遠比一元函數
極值問題復雜。
十九、隱函數存在定理（10+4 學時）
隱函數概念。隱函數定理。隱函數求導。
隱函數組概念。隱函數組定理。隱函數組求導。反函數組與坐標變換。函數行列式。
函數相關。
幾何應用（平面曲線的切線與法線?？臻g曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線）。
條件極值。拉格朗日乘數法。
內容處理建議：
—10—
1． 要求學生深入理解隱函數（組）的概念，并通過隱函數（組）的在幾何、坐標變
換及條件極值等方面的應用加深理解隱函數（組）的概念與作用。
2． 要求學生掌握隱函數（組）的求導方法，并注意在關于隱函數的討論與計算時考
慮是否滿足隱函數（組）定理的條件。
二十、含參量積分（10+2 學時）
含參量常義積分概念。含參量常義積分的連續性、可積性、可微性、積分次序的變換。
含參量廣義積分的概念；含參量廣義積分的收斂與一致收斂。含參量廣義積分的一致
收斂判別法：Cauchy 準則。Weierstrass 判別法.Abel 判別法。Dirichlet 判別法。
含參量廣義積分的性質：連續性定理、可微性定理、可積性定理、積分次序交換定理。
*Euler 積分（Γ-函數、B-函數）。
內容處理建議：
1．著重講解含參量廣義積分的收斂與一致收斂概念，利用典型例題說明“非一致收
斂”。
2．強調含參量廣義積分與函數項級數在論證方法上的相似性，對照函數項級數的有
關概念、討論含參量廣義積分的相應概念與性質。
3．講述一致收斂性判別定理時，應突出這些定理的應用及應用時應注意的問題。
4．在講述含參量廣義積分的性質各定理的同時，強調一致收斂性條件在定理中的重
要性，但又應強調只是充分條件。
二十一、重積分（14+2 學時）
二重積分概念：矩形區域上的二重積分。二重積分的性質。二重積分的可積條件。一
般區域上的二重積分。
二重積分的計算：化二重積分為累次積分。二重積分換元法（極坐標變換與一般變換）。
三重積分概念?；胤e分為累次積分。三重積分換元法（柱坐標變換、球坐標變換
與一般變換）。
重積分的應用：平面圖形的面積，空間立體的體積；曲面面積；重心，轉動慣量，引
力等。
n 重積分。
內容處理建議：
1．在重積分概念中，著重講解二重積分概念，強調定義中分割、求和、取極限三步
驟，以及分割的分法與介點取法的兩個“任意性”。
2．深入講解二重積分的可積性問題，講清可積的必要條件、充分條件及充要條件。
3．重積分的性質可與定積分性質對比，作一般介紹。
—11—
4． 強調和強化重積分計算。
5． 用微元法講重積分應用，讓學生掌握微元法思想，并處理實際應用問題（主要是
幾何、物理應用）。
6． n 重積分只作簡要介紹。
二十二、 曲線積分與曲面積分（20+4 學時）
第一型曲線積分的概念。第一型曲線積分的計算。第一型曲面積分的概念。第一型曲
面積分的計算。
第二型曲線積分的概念。第二型曲線積分的計算。兩類曲線積分的聯系。
Green 公式。曲線積分的與路無關性。
曲面側的概念與第二型曲面積分概念。第二型曲面積分的計算。兩類曲面積分的聯系。
Gauss 公式。Stokes 公式。場論初步（場的概念、梯度場、散度場、旋度場、管量場
與勢場）。
內容處理建議：
1． 講清曲線、曲面積分概念，注意介紹兩類曲線、曲面積分的背景例題。
2． 兩類積分的聯系與區別應仔細分析，講解清楚。
3． 加強學生對曲線積分、曲面積分計算的訓練。
4． 深入講解 Green 公式、Gauss 公式與 Stokes 公式，讓學生理解三大著名公式的精
神實質。
5． 場論只作一般介紹。
注：在條件許可的情況下，可對微分形式、外微分與一般 Stokes 公式作簡單介紹。
教學參考書目
1、《數學分析》華師大出版社，2002 年第 3 版。
2、《微積分學教程》菲赫金哥爾茨著。
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
|
|
上一篇文章： 安徽師范大學《數據庫原理實踐》課程本科教學大綱
下一篇文章： 安徽師范大學《數學史》本科教學大綱
|
|
|
|
|
|
文章搜索
您現在的位置： 
