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《高等數學》（文科）教學大綱
學時：4 學時\周
適用專業：經濟專業等專業
大綱執筆人：陳平 大綱審定人：劉樹德、魯世平
一、 說明
1、 課程的性質、地位和任務
本課程是高等師范院校和綜合性大學的一門公共課，它的任務是使學生獲得微積分的有關概
念、極限與連續的定義性質、極限的求法、導數的定義與求導方法、微分與積分（包括定積
分與不定積分）的定義與方法、無窮級數的定義與性質、多元函數微積分、微分方程的基本
解法等方面的系統知識
2、 課程教學的基本要求
（1）掌握一元函數極限、連續、導數、微積分的概念與性質
（2）掌握多元元函數極限、連續、導數、微積分的概念與性質
（3）掌握無窮級數的定義與性質
（4）掌握微分方程的基本解法
3、 課程教學改革
（1）注重能力的培養、注重學生分析技巧的訓練。此外，要培養學生利用微積分這一數學
工具解決專業知識問題、解決實際問題，從而達到培養學生應用能力的目的。
（2）注重本課程知識與其它相關課程例如《數學分析》、《常微分方程》、《宏觀經濟學》、《微
觀經濟學》等的聯系
二、大綱內容
第一章 函數（4 課時）
[內容要點]
集合運算及運算律、隱函數與初等函數的定義
[教學要求]
回顧中學數學相關知識點，掌握集合運算及運算律、函數的性質、隱函數與初等函數的定義
等
第二章 極限與連續（ 16 課時）
[內容要點]
數列的極限、函數的極限、變量的極限、無窮大量與無窮小量、極限的運算法則、兩個重要
的極限、函數的連續性
[教學要求]
（一） 了解各種極限的ε 語言定義
（二） 掌握 0
xx ? 時極限問題與函數在 0
xx ? 有無定義無關、了解極限的幾何意義
（三） 掌握左右極限的定義，特別是利用左右極限討論函數極限
（四） 掌握無窮大量、無窮小量的定義及二者之間的關系
（五） 掌握求極限的各種方法：
（１） 極限的運算法則
（２） 兩個重要極限
（３） 多項式函數，時分母極限不為零的分式函數
（六） 掌握函數連續的概念、分析分段函數連續性與收斂性的方法及利用連續性求極限的
方法
第三章 導數與微分（12 課時）
［內容要點］
導數概念、導數的基本公式與運算法則、高階導數、微分
［教學要求］
（一） 掌握導數定義的幾種等價形式以及可導與連續的關系
（二） 掌握求導的基本公式、運算法則。特別是：
（１） 隱函數求導法
（２） 對數求導法
（三）掌握高階導數、微分的概念以及微分基本公式
第四章 中值定理，導數的應用（20 課時）
［內容要點］
中值定理，洛比達法則，函數的增減性與極值，最大值與最小值，極值的應用問題，曲線的
凹向與拐點，函數圖形的做法,變化率及相對變化率在經濟中的應用（經濟專業適用）
[教學要求]
（一） 了解中值定理的內容以及相互的聯系
（二） 掌握洛比達法則
（三） 掌握函數增減性與極值的判別方法
（四） 了解最值與極值的聯系與區別：最值是全局性概念，極值是局部性概念
（五） 掌握曲線凹向與拐點的判別方法及曲線漸近線的求法，了解函數圖形的做法
（六） 掌握導數在邊際分析與彈性分析的應用
第五章 不定積分（10 課時）
[內容要點]
不定積分的概念、性質，基本積分公式，換元積分法與分部積分法
[教學要求]
（一） 了解不定積分是導數的相反問題，不定積分的概念與幾何意義
（二） 掌握不定積分的性質
（1） )(])([
/
xfdxxf ??
（2） cxFdxxF ??? )()(
/
（3） ? ?? dxxfadxxaf )()( 0?a
(4) ?? ? ??? dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
（三） 熟記不定積分基本公式
（四） 掌握換元積分法與不定積分法 ：
（１） 形如 dxxxf )()]([
/
???
（２） 令 )(tx ?? ，將 dxxf? )( 變形為 dtttf )()]([
/
???
（３） 分部積分公式 ? ??? vduuvudv
第六章 定積分（18 課時）
[內容要點]
定積分的定義、基本性質，定積分與不定積分的關系，定積分的換元積分法與分部積分法，
定積分的應用，廣義函數與Г 函數
[教學要求]
（一） 了解定積分的定義
（二） 掌握定積分的基本性質
(1) dxxfkdxxkf
b
a
b
a ?? ? )()( k 為常數
(2) ??? ???
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(3) dxxfdxxfdxxf
c
b
c
a
b
a ??? ?? )()()( 點c 分 ],[ ba 為 ],[ ca 和 ],[ bc
(4) 如果在 ],[ ba 上, )()( xgxf ? 恒成立,則 ?? ?
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
(5) abdx
b
a
???
(6) )()()( abMdxxfabm
b
a
???? ? 其中m , M 分別為 )(xf 在 ],[ ba 上的最小值與最大值
(7) 中值定理
（三） 掌握定積分與不定積分的關系
（四） 掌握定積分換元積分法與分部積分法
（五） 掌握定積分的應用
（１） 平面圖形的面積
（２） 旋轉體和已知平行截面面積的立體的體積
（六） 掌握廣義積分的定義
（１） 無窮區間上的積分
（２） 無界函數的積分
（七） 了解Г 函數的定義與性質
第七章 無窮級數（6 課時）
[內容要點]
無窮級數的概念與基本性質、正項級數、任意項級數、絕對收斂、冪級數、泰勒公式與泰勒
級數，初等函數的冪級數展式
[教學要求]
（一） 掌握無窮級數的概念
（二） 掌握無窮級數的基本性質
（三） 掌握正項級數斂散性判別方法：
（１） 部分和數列有界
（２） 比較判別法
（３） 達朗貝爾比值判別法
（四） 掌握交錯級數的萊不尼茲判別法以及任意項級數的斂散性判別法，絕對收斂與條件
收斂的關系
（五） 熟練掌握求冪級數收斂區間的方法與冪級數的性質
（六） 了解泰勒中值定理、泰勒公式、泰勒余項
（七） 掌握某些初等函數的冪級數展式（包括直接與間接展開法）
第八章 多元函數（6 課時）
[內容要點]
空間解析幾何簡介、多元函數的概念、二元函數的極限與連續、偏導數與全微分、隱函數與
復合函數微分法、二元函數的極值、二重積分
[教學要求]
（一）掌握空間解析幾何的基本知識
（１） 了解空間直角坐標系
（２） 掌握空間任意兩點距離公式
（３） 了解空間曲面與方程 0),,( ?zyxF 的對應關系
（二）了解多元函數的概念以及二元函數的定義域與幾何意義
（三）掌握二元函數極限與連續的定義
（四）掌握偏導數的定義與求法
（五）掌握全微分的定義與求法
（六）掌握隱函數與復合函數微分法
（七）掌握二元函數極值的定義以及極值存在的充分條件與必要條件，了解條件極值與拉格
朗日乘數法、最小二乘法
（八）了解二重積分的定義，掌握二重積分的性質，掌握二重積分的計算方法：
（１） 直角坐標系下的二重積分化為累次積分
（２） 極坐標系下的二重積分化為累次積分
第九章 微分方程與差分方程簡介（6 課時）
［內容要點］
微分方程的一般概念、一階微分方程、幾種二階微分方程、二階常系數線性微分方程、差分
方程的一般概念
[教學要求]
（一） 了解微分方程的一般概念
（二） 了解一階微分方程的一般形式、掌握幾種一階微分方程的解法：
(1) 可分離變量的一階微分方程 dxxgdxxf )()( ?
(2) 齊次微分方程 )(
x
y
f
dx
dy
?
(3) 一階線性齊次微分方程的變量分離法,一階線性非齊次微分方程 )()( xqxp
dx
dy
??
的常數變易法,熟記線性方程的通解公式
（三） 了解二階微分方程的一般形式，掌握幾個可降為一階微分方程的二階微分方程的解
法:
(1) )(xfy ??? 積分兩次的方法
(2) ),( yxfy ???? 令 )(xpy ??
(3) ),( yyfy ???? 令 )( ypy ??
（四） 掌握二階常系數線性微分方程的解法:
(1) 二階常系數線性齊次微分方程
(2) 二階常系數線性非齊次微分方程
（五） 了解差分方程的一般概念
參考教材：趙樹嫄 《微積分》 中國人名大學出版社 1998 年第 2 版
孫國正《高等數學》安徽大學出版社 2003 年
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