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數學與應用數學專業（師范類）
高等代數教學大綱
學時：153 學分：9
理論學時：153 實驗或討論學時：20
適用專業：數學與數學應用
大綱執筆人：儲茂權 大綱審定人：殷曉斌
高等代數是數學專業的一門重要基礎課程，是中學代數的繼續和提高。
通過這一門課程的教學，使學生初步地掌握基本的、系統的代數知識和抽象
的、嚴格的代數方法，以加深對中學數學的理解，并為進一步學習打下基礎。
這門課程大致分為兩部分：多項式論和線性代數。前者以數域上一元多
項式的因式分解理論為中心內容；后者主要講授線性方程組的理論、向量空
間和線性變換。在講授某些內容時，應注意與其它課程的聯系。
為了體現少而精的原則，本課程著重于基礎知識、基本理論的講授和基
本技能的培養，不追求內容上的完備和全面。
本課程的學時數學時數 153 課時，其中講授 120 課時，習題課 33 課時，
教師在使用大綱時，對于講授次序和學時安排，可以根據實際情況，靈活掌
握。
大綱括號內的學時數為講授時數的大致估計：
一、預備知識（4 學時）
１ 集合（子集、集合的交和并）
２ 映射（定義、滿射、單射、雙射、合成映射、逆映射）
３ 數學歸納法
４ 數域
二、多項式（30 學時）
１ 多項式的定義和運算
２ 多項式的帶余除法
３ 帶余除法和整除
４ 輾轉相除法和最大公因式
５ 多項式的因式分解及其唯一性
６ 導數與重因式
７ 多項式的根
８ 多項式函數
９ 多項式的根與系數的關系 多元多項式 對稱多項式
１０ 復數域和實數域上的多項式、代數基本定理（不證）
１１ 有理數域上的多項式
１２ 整系數多項式的有理根
三、列式（１5 學時）
１ 排列
２ n 階行列式的定義
３ n 階行列式的基本性質
４ 行列式按行或按列展開
５ 行列式的計算
６ 克蘭姆（Cramer）規則
7 拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法規則
四、線性方程組（１６學時）
１ 線性方程組的消元法
２ n 維向量空間
３ 線性相關性
４ 矩陣的秩
５ 線性方程組有解的判定
６ 線性方程組解的結構
五、矩陣（１５學時）
１ 矩陣的概念及運算
２ 矩陣乘積的行列式及秩
３ 矩陣的逆
４ 矩陣的分塊及其應用
５ 初等矩陣
六、二次型（８學時）
１ 二次型的定義及其矩陣表示
２ 標準型
３ 唯一性
４ 正定二次型及其判定
七、線性空間（１８學時）
１ 線性空間的定義與基本性質
２ 維數、基與坐標
３ 線性子空間
４ 子空間的交與和
５ 子空間的直和
６ 線性空間的同構
八、線性變換（２２學時）
１ 線性變換的概念
２ 線性變換的運算
３ 線性變換的矩陣
４ 矩陣的相似
５ 特征值與特征向量
６ 可對角化的矩陣
７ 線性變換的值域與核、不變子空間
８ 若當（Jordan）標準形簡介
９ 最小多項式
九、λ-矩陣（１０學時）
１ λ -矩陣定義及其逆
２ λ -矩陣在初等變換下的標準形
３ 不變因子、初等因子
４ 矩陣相似的條件
５ 若當（Jordan）標準形的理論推導
十、歐幾里得空間（１０學時）
１ 定義與基本性質
２ 標準正交基、正交變換
３ 同構
４ 子空間
５ 對稱矩陣的標準形
６ 向量到子空間的距離、最小二乘法
教學參考書目：
張禾瑞 郝炳新 高等代數 高等教育出版社 1983 年 9 月出版
第三版
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