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《數學系（常微分方程）》教學大綱
學時：64 學時 學分：3 理論學時：51 學時
適用專業：數學、系統科學與工程及控制理論與應用等專業。
大綱執筆人：魯世平 大綱審定人：劉樹德
一、說明(500 字左右)
1、 課程的性質、地位和任務
本課程是高等師范院校數學專業和綜合性大學數學專業、系統科
學與工程專業、控制理論與應用等專業的一門重要基礎課程，它
的任務是使學生獲得微分方程的有關概念、一階微分方程的初等
解法、微分方程解的存在、唯一性定理、線性微分方程解的理論、
線性微分方程的求解方法和線性微分系統理論及其解法等方面的
系統知識。
2、 課程教學的基本要求
（1） 掌握微分方程的概念以及一階微分方程的初等解法。 對微
分方程解的存在性和唯一性定理證明的思想有較深刻的認
識。熟練掌握線性微分方程和線性微分系統的理論和各種
解法，特別是非齊次線性方程的解法，掌握常數變易法與
其它方法的區別。
（2） 系統掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值問題的解、
函數線性相關和線性無關、Wronsky 行列式、常數變易法、
基解矩陣等。掌握微分方程有關解的存在性的證明方法；
獲得較熟練的計算技能和初步的應用能力。
（3） 本課程總教學時數為 70 課時，其中理論課時為 57，討論課
時為 13。
3、 課程教學改革
（1） 注重能力的培養
在教學本課程時，要注重學生變量變換和分析技巧的訓練，
使得這些技巧成為學生進一步學習和研究的專業技能。此外，要
培養學生利用所學的知識解決實際問題，從而達到培養學生應用
能力的目的。
（2） 注重本課程知識與其它相關課程的聯系
在講授此課程時，要注重本課程與相關課程《線性代數》、《數
學分析》和《力學》等之間的聯系。
二、大 綱 內 容
第一章：基 本 概 念（3 課時）
[內容要點]
常微分方程。 微分方程的解、通解與特解、初始條件與初值
問題、方向場與積分曲線、微分方程的實際問題舉例
[教學要求]
1．理解微分方程及其解的定義。掌握微分方程的一些基本概念，
如微分方程的階數、線性與非線性，通解與特解，初始條件與
初值問題等。
2．理解微分方程及其解的幾何解釋。從理論上說，它把作為解析
對象的微分方程及其解與作為幾何對象的方向場及積分曲線
溝通起來，從而在微分方程這門學科中建立了數與形之間的聯
系；從實用上說，我們可以通過做出方向場來畫出積分曲線的
大概圖形。
3．通過本章例題的學習，初步了解本門學科的某些實際背景。
第二章 一階微分方程的初等解法（12 課時）
[內容要點]
變量分離方程式、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程
恰當方程與積分因子、一階隱方程及其解法。Riccati 方程及其解法。
[教學要求]
（一） 掌握可分離變量
)()( yxf
dx
dy
??
的解法
（二） 掌握可化為變量分離方程的解法：
（1）齊次方程
?
?
?
?
?
?
?
x
y
g
dx
dy
的變量變換
x
y
u ? 及其解法。
（3） 形如方程
222
111
cybxa
cybxa
dx
dy
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和 ?
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??
??
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222
111
cybxa
cybxa
f
dx
dy
的變量變換及其解法。
（4） 掌握線性方程
)()( xQyxP
dx
dy
??
的解法，即常數變易法，熟記線性方程的通解公式。
（5）了解 Cauchy 問題
?
?
?
?
?
?
??
00
)(
)()(
yxy
xQyxP
dx
dy
特解的求法和特解表達式及其應用。
（6） 掌握利用變量變換將 Bernoulli 方程
1,0,)()( ??? nyxQyxP
dx
dy n
化為線性方程的方法，從而可求出其通解。
（三）掌握恰當方程的判別方法和恰當方程的通解求法。掌握
分項組合的方法求恰當方程的通解。
（1）掌握積分因子的概念和非恰當方程的積分因子解法。
（2）掌握存在僅與 x 和 y 有關的積分因子的條件及求法。
（3）了解其它積分因子的求法。
（四）掌握一階隱方程的參數表示及通解的求法。
（五）了解求解 Riccati 方程通解的歷史，從而知道微分方程初等
解法的局限性。
第三章 一階微分方程的解的存在定理（9 課時）
[內容要點]
Lipschitz 條件、一階微分方程解的存在唯一性定理、一階微分
方程解的延拓定理、一階微分方程解關于初值連續和可微性定理。
[教學要求]
（一）熟記一階微分方程
? ? ? ?
? ??
?
?
?
??
00
,
yxy
yxfxy
解的存在唯一性定理的條件和結論。
（二）了解皮卡逐步逼近法和一階微分方程解的存在唯一性定理
的證明。
（三）掌握 Lipschitz 條件主局部 Lipschitz 條件的概念。
（四）掌握一階微分方程解的延拓定理的證明方法，熟記飽和解
的概念，對特定的區域 G 了解在其上定義的一階微分方程
飽和解存在區間的可能情況。
（五）了解一階微分方程解對初值的連續性和可微性。
（六）熟記一階微分方程解 ? ?00
,, yxxy ?? 對初值的可微公式：
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? ?
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x
x
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,
exp
0
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? ?? ?00
,,, yxxxf
x
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?
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第四章 高微分方程（14 課時）
[內容要點]
函數線性相關、線性無關；Wronsky 行列式；齊次線性微分方程通
解結構定理；非齊次線性微分方程通解結構定理；常數變易法；
常系數齊次線性微分方程解法；利用比較系數法和 Laplace 變換法
求非齊次常系數線性微分方程的通解；歐拉方程及其通解的求法；
二階線性方程的冪級數解法。
[教學要求]
（一）掌握函數線性相關、線性無關；Wronsky 行列式和基本解組
等概念。
（二）掌握齊次線性微分方程
? ? ? ? ? ? 011
1
1
????? ??
?
xta
dt
dx
ta
dt
xd
ta
dt
xd
nnn
n
n
n
?
通解結構定理。
（三）掌握非齊次線性微分方程通解結構定理
? ? ? ? ? ? ? ?tfxta
dt
dx
ta
dt
xd
ta
dt
xd
nnn
n
n
n
????? ??
?
11
1
1
?
利用常數變易法求其通解。
（四）掌握常系數齊次線性微分方程和歐拉方程的解法。
（五）利用比較系數法和 Laplce 變換法求常系數非齊次線性方程
的通解。
（六）利用未知函數變換的方法求解可降階的一些方程。
（七）掌握二階變系數線性微分方程的冪級數解法。
（八）了解第二宇宙速度的計算和質點振動理論及其應用。
第五章 線性微分方程組（13 課時）
[內容要點]
矩陣函數連續、導數和積分等概念；線性微分方程組的初值問題
解的存在唯一性定理；線性微分方程組通解結構定理；基解矩陣；
求解線性微分方程組。
[教學要求]
（一）掌握矩陣函數連續、導數和積分等概念。
（二）了解線性微分方程組初值問題解存在唯一性定理及其證
明。
（三）掌握利用常數變易法求解非齊次線性微分方程。
（四）掌握常系數線性微分方程組的解法。
（五）掌握基解矩陣的計算。
（六）了解利用 Laplace 變換法求解非齊次常系數線性微分方程
組。
參考教材：王高雄 、周之銘等 中山大學 2003 年第四版和北京
大學 2002 年第三版。
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