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2016年全國碩士研究生入學考試招生單位自命題試卷 A卷
811（A 卷）第 1 頁，共 3 頁
安徽工業大學 2016 年碩士研究生招生專業基礎課試卷（A 卷）
科目名稱： 高等代數 科目代碼： 811 滿分： 150 分
考生請注意：所有答案必須寫在答題紙上，做在試題紙或者草稿紙上的一律無效！
一、設多項式 14)(
4
??? kxxxf ，k 為整數 (15 分)
1、證明： )( xf 在有理數域上不可約；（8 分）
2、設 1)( ?? xxg ，求 ))(),(( xgxf ，以及 )(),( xvxu ，使得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ))u x f x v x g x f x g x? ? .（7 分）
二、計算 n 級行列式（10 分）
n
D =
baa
baa
bbaa
bba
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
000
000
00
000
三、已知n 階方陣A 的秩為 1,（20 分）
（1）證明：存在n 維非零列向量 ?? , ，使得 T
A ??? ，此時驗證
AAtrAA
T
)()(
2
?? ?? , )( Atr 表示A 的跡（即對角線元素的和）；（5 分）
（2）設 T
A ??? , ? ?n
aaa ,,, 21
??? ， ? ?n
bbb ,,, 21
??? 且 0
2
?A ，求 A
的特征值和特征向量；（10 分）
（3）證明： AAAtrAAA
TT
)(? .（5 分）
四、A 是一個實矩陣. 證明： 秩( AA
T
)=秩( A ) （其中
T
A 表示矩陣 A 的
轉置矩陣）. (10 分)
五、設 1
[1 4 1 0, 2] ,
T
? ? ，，， 2
[2 5 1 3, 2] ,
T
? ? ? ?，， ， 3
[ 1 2 5 6, 2] ,
T
? ? ? ，，，
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811（A 卷）第 2 頁，共 3 頁
4
[0 2 2, 1, 0] ,
T
? ? ?，， （10 分）
1、求該向量組的秩及其一個極大線性無關組；（8 分）
2、將其余向量用這個極大線性無關組線性表示. (2 分)
六、設
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
324
1
223
kkA ，（15 分）
(1)求k 的值，使A 相似于對角矩陣；（8 分）
(2)求可逆矩陣P ，使 APP
1?
為對角陣.（7 分）
七、求一正交線性替換，化下列二次型為標準形
323121
2
3
2
2
2
1
844552 xxxxxxxxx ????? .（15 分）
八、設方程組
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
?????
????
bxxxx
xaxxx
xxxx
xxxx
4321
4321
4321
4321
6
1723
1462
032
討論 ba， 取何值，方程組有解或無解，并在有解時求出全部解（用基礎解
系表示）。（20 分）
九、設A 、 B 均為n 階實對稱矩陣，證明:（20 分）
1、當實數t 充分大之后， AtE ? 是正定矩陣；（5 分）
2、若A 是正定矩陣，則 1?
A ， *
A （A 的伴隨矩陣）均正定；
若
*
A 正定，舉例說明 A 不一定是正定矩陣；（10 分）
3、若A 、B 均正定，且 BAAB ? ，則AB 也是正定矩陣.（5 分）
十、設? 為數域 P 上的 n 維線性空間 V 的線性變換，且滿足 ?? ?
2
，證明：
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811（A 卷）第 3 頁，共 3 頁
（15 分）
（1） ? ?V???
?
????? )()(0
1
；
（2） )()( VV ?? ??
?
0
1
；
（3）如果? 是V的線性變換， )(),( 0
1?
?? V 是? 的不變子空間當且僅當 ???? ? .
（試題完）
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