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數學與統計學院碩士研究生招生考試
考試大綱
科目代碼：608 科目名稱：數學分析
考試范圍：
一、數列和（一元、多元）函數極限：極限的概念；極限存在的條件和存在的
各種判定方法；求極限的各種方法。
二、（一元、多元）函數連續：連續的概念，性質（局部性質和整體性質）及應
用。
三、一元函數微分學：求導的各種方法（包括高階導數）；一元函數的微分中值
定理（Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理，Taytor 公式）及應用.
四、一元函數積分學：不定積分的各種計算方法；定積分的各種計算方法；函
數可積的條件；定積分的各種性質及應用；反常積分值的計算和反常積分收斂
性判別的各種方法。
五、多元函數微分學：函數可微的討論；微分、偏導數和高階偏導數的各種計
算方法；多元函數的微分中值公式和泰勒公式；隱函數的存在性和可微性的討
論，隱函數導數或偏導數的計算；方向導數和梯度；幾何應用和極值問題（包
括條件極值問題）。
六、多元函數積分學：重積分計算的各種方法和重積分的性質（包括二、三重
積分和簡單的 n 重積分）；第一型曲線（曲面）積分的各種計算方法；第二型曲
線（曲面）積分的各種計算方法；第一型曲線（曲面）積分與第二型曲線（曲
面）積分的關系；Green 公式及應用；Gauss 定理和 Stokes 定理及應用。
七、數項級數的各種收斂的判別法；數項級數的求和方法。
八、函數列和函數項級數收斂和一致收斂的各種判別法；極限函數與和函數的
解析性（連續、可微和可積性）的討論；含參量積分（包括含參量正常積分和
含參量反常積分）及其應用。
九、冪級數和傅立葉級數：求冪級數的和函數；將函數展成冪級數或傅立葉級
數；冪級數應用。
十、實數的完備性：區間套定理、數列的柯西（Cauchy）收斂準則、聚點原理，
有界數列存在收斂子列、有限覆蓋定理。
科目代碼：856 科目名稱：高等代數
考試范圍：
一、多項式
1 數域上一元多項式的定義、運算及運算規律.
2 帶余除法, 整除的定義及性質.
3 多項式的最大公因式, 互素等概念及性質. 輾轉相除法.
4 不可約多項式的定義及性質, 因式分解定理, 標準分解式.
5 k 重因式的定義. 判斷一個多項式有無重因式.
6 多項式函數的概念, 余數定理, 多項式的根及性質.
7 復系數、實系數多項式的因式分解,
8. 有理系數多項式的可約性的判定. 多項式的有理根.
二、行列式
1 n 級行列式的定義及其基本性質.
2 余子式、代數余子式, 行列式按一行(列)展開及 Laplace 定理.
3 低階行列式, 有規律的高階行列式的計算.
4 克萊姆(Cramer)法則.
三、線性方程組
1 線性組合、線性相關、線性無關的定義、性質及其判斷.
2 向量組的極大無關組、秩的定義及其求法.
3 矩陣的行秩、列秩、秩的定義. 矩陣的秩與其子式的關系.
4 線性方程組的有解判別定理. 含參數線性方程組解的討論.
5 齊次線性方程組基礎解系; 非齊次線性方程組有解的情況下, 其解的表示.
四、矩陣
1 矩陣的基本運算及其規律. 有關矩陣秩的常見等式與不等式.
2 可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念. 矩陣可逆的充要條件
3 初等矩陣、初等變換. 矩陣的等價標準形. 求一個方陣的逆矩陣.
4 分塊矩陣的意義及其運算.分塊矩陣的初等變換和廣義初等矩陣的關系, 求分
塊矩陣的逆.
五、二次型
1 二次型, 二次型的 (相伴) )矩陣和非退化線性替換的概念
2 二次型的標準形, 化二次型為標準形的方法: 配方法、合同變換法
3 復數域和實數域上二次型的規范形的唯一性, 慣性定理.
4 正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念.
正定二次型及半正定二次型的等價條件.
六線性空間
1 線性空間的定義及性質, 判斷一個代數系統是否是線性空間.
2 線性空間的基, 維數, 向量坐標的概念及性質. 基變換與坐標變換.
3 子空間的定義及判別定理, 向量組生成子空間的定義及等價條件.
4 子空間的交與和的定義、性質及其求法,維數公式.
5 子空間直和的概念, 和為直和的充要條件.
七線性變換
1 線性變換的定義及性質, 運算及運算規律
2 有限維線性空間中, 線性變換與矩陣的關系,
3 特征值、特征向量、特征多項式的概念、性質和計算. 哈密爾頓-凱萊定理.
4 n 維線性空間中線性變換在某一組基下的矩陣為對角形的充要條件.
5 線性變換的值域、核、秩、零度等概念及其計算
6 不變子空間的定義, 判定一個子空間是否是 A-子空間, 不變子空間與線性變
換矩陣化簡之間的關系, 空間 V 按特征值分解成不變子空間的直和表達式.
八、 ? ? 矩陣
若當標準形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系
九歐幾里得空間
1 歐氏空間的定義及性質, 度量矩陣等概念和基本性質
2 正交向量組、標準正交基的概念, 施密特正交化過程,
3 兩個子空間正交的概念, 歐氏空間中子空間都有唯一的正交補及其性質.
4 正交變換的概念及幾個等價條件.
5 對稱變換的定義及性質, 實對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣, 正交替換
法化實二次型為標準形.
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