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《數學分析》考試大綱
1.函數
1.1 掌握實數概念及其基本性質。掌握實數絕對值的概念和有關的不等式。
1.2 掌握鄰域概念, 掌握確界定理。
1.3 掌握函數的概念及各種表示方法,掌握復合函數和反函數的概念。
1.4 掌握有界函數與無界函數、單調函數、奇函數和偶函數、周期函數等概念。
1.5 掌握六類基本初等函數的定義和性質。
1.6 掌握常用的幾個非初等函數，如符號函數，狄利克雷函數等。
2. 數列極限
2.1 掌握數列極限的 N?? 的定義, 會使用“ N?? 語言”證明數列的極限。
2.2 正確理解和掌握收斂數列的性質。
2.3 掌握單調有界原理,致密性定理及 Cauchy 收斂準則。
3. 函數極限
3.1 掌握函數極限的 M?? 和 ?? ? 定義。
3.2 掌握函數極限的性質。
3.3 掌握函數極限存在的條件, 掌握歸結原則及柯西準則。
3.4 掌握重要極限 1
sin
lim
0
?
? x
x
x
和
1
lim(1 )
x
x
e
x? ?
? ? 及其應用。
3.5 正確理解和掌握無窮大和無窮小的概念及無窮小的階。
4. 函數的連續性
4.1 掌握連續函數的概念, 掌握間斷點及其分類。
4.2 掌握連續函數的局部性質,掌握閉區間上連續函數的性質。
4.3 掌握反函數的連續性,掌握函數的一致連續性。
4.4 掌握初等函數在其定義域上的連續性。
5. 導數與微分
5.1 掌握導數的概念及其幾何意義。
5.2 掌握求導法則,掌握參變量函數的導數法則, 掌握高階導數的求法。
5.3 掌握微分的概念及其幾何意義。
5.4 掌握微分的運算法則,了解高階微分,了解微分在近似計算中的應用。
6. 微分中值定理及其應用
6.1 熟練掌握中值定理的條件、結論和證明方法。
6.2 掌握不定式極限的求法,熟練掌握洛必達法則及其應用。
6.3 掌握泰勒公式，掌握用多項式逼近函數的思想。
6.4 會分析函數的性態,會求函數的單調區間和極值，會判斷函數的凸性和拐點,
會較完善地作出函數的圖形。
7. 實數的完備性
7.1 理解區間套概念，能熟練使用區間套定理。
7.2 掌握聚點概念及各種等價定義，能熟練使用聚點定理。
7.3 理解（開）覆蓋的定義并且會用集合術語表達，體會如何構造開覆蓋并且會
用開覆蓋定理。
7.4 知曉實數完備性的六種等價說法及其證明。
8. 原函數與不定積分
8.1 掌握原函數定義及唯一性（不計常數）。
8.2 掌握不定積分的定義、性質。
8.3 熟練使用換元公式和分部積分公式。
8.4 了解有理函數不定積分的計算方法。
8.5 了解某些其它類型不定積分的計算方法。
9. 定積分（Riemann 積分）
9.1 深入理解定積分概念及其產生背景。
9.2 熟練掌握可積性的判別準則及可積函數類。
9.3 熟練掌握定積分的性質及積分中值定理。
9.4 重點掌握微積分學基本定理和 Newton-Leibniz 公式。
9.5 熟練使用定積分工具解決幾何、物理和學科的問題。
10. 反常積分
10.1 深入理解反常積分概念及其產生背景。
10.2 熟練使用反常積分的收斂判別法。
11. 數項級數
11.1 深入理解數項級數的概念及其產生背景。
11.2 直觀理解絕對收斂和條件收斂概念。
11.3 熟練使用正項級數和一般項級數的收斂判別法。
12. 函數列、函數項級數和冪級數
12.1 深入理解逐點收斂和一致收斂概念，重點在一致收斂。
12.2 熟練使用一致收斂的 Cauchy 準則及收斂判別法。
12.3 掌握一致收斂函數列（函數項級數）之極限函數（和函數）的分析性質，
即連續性、可積性、可微性。
12.4 能熟練求出一個冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域。
12.5 熟知冪級數在其收斂區間上的性質(內閉一致收斂性、連續性、逐項可積和
逐項可導性）。
12.6 掌握將光滑函數展為冪級數的基本方法。
13. 傅里葉（Fourier）級數
13.1 深入理解傅里葉級數及其產生的物理背景。
13.2 會做一個可積函數的傅里葉級數。
13.2 掌握三角函數系的正交性、Bessel 不等式和 Riemann-Lebesgue 引理。
13.4 了解有關傅里葉級數收斂性的一些結果。
14. 多元函數微分學
14.1掌握平面點集的一些概念: 鄰域、內點、界點、聚點、區域、閉區域、有界
區域、無界區域等。
14.2掌握二元函數和二元函數極限的定義,弄清二重極限與累次極限的區別及其
聯系。
14.3 掌握二元連續函數的定義以及性質。
14.4 理解可微性的條件、幾何意義及應用。
14.5 熟練計算偏導數和高階偏導數。
14.6 了解方向導數與梯度的定義。
14.7 會運用泰勒公式解決極值問題。
15. 隱函數
15.1理解隱函數的概念及存在性的條件。
15.2了解隱函數組的概念及定理并掌握幾何運用。
15.3掌握條件極值的求法。
16.含參變量的積分
16.1 掌握含參量正常積分及反正常積分。
16.2 掌握一致收斂的判別法。
16.3 理解歐拉積分并會應用。
17. 重積分
17.1 掌握二重積分的概念，理解二重積分的可積函數類與性質。
17.2 掌握二重積分的計算，掌握二重積分的變量變換和二重積分的應用。
17.3 掌握三重積分的概念。
17.4 掌握三重積分的計算，掌握三重積分的變量變換和應用。
18. 曲線積分與曲面積分
18.1 正確理解第一型曲線積分和第二型曲線積分的概念。
18.2 掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計算。
18.3 會運用格林公式和積分與路徑無關的條件解決問題。
18.4 正確理解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念。
18.5 掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計算。
18.6 會運用高斯公式和斯托克斯公式。
18.7 了解場的概念和各種場。
《高等代數》考試大綱
1. 行列式
1.1 了解排列的概念及性質。
1.2 熟練掌握行列式的概念、性質。
1.3 掌握行列式的計算方法。
1.4 熟悉克拉姆法則。
1.5 對矩陣及矩陣的初等變換有初步的了解。
2. 線性方程組
2.1 掌握 n 維向量及 n 維向量空間的概念，熟練掌握向量的運算。
2.2 熟練掌握向量組的線性相關性，理解向量組的極大無關組。
2.3 深刻理解向量組的秩和矩陣的秩的定義，掌握矩陣秩的計算方法。
2.4 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。
2.5 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系的概念和計算方法，熟練掌握線
性方程組的解的結構定理，會求解線性方程組。
3. 矩陣
3.1 了解矩陣概念的一些背景。
3.2 熟練掌握矩陣的運算及運算律。
3.3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。
3.4 深入理解矩陣可逆、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握方陣可逆的充要條，會
用件公式法求矩陣的逆矩陣。
3.5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的運算及性質。
3.6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換的概念及它們的關系，熟練掌握利用初
等變換方法求矩陣的逆矩陣。
3.7 了解分塊乘法的初等變換，會將矩陣分塊與初等變換結合進行矩陣運算。
4. 二次型
4.1 正確理解二次型非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示，掌握矩陣
合同的概念與性質。
4.2 掌握化二次型為標準形的方法。
4.3 深刻理解對稱矩陣與二次型的關系，掌握對稱矩陣的性質。
4.4 掌握慣性定理，熟練掌握正定二次型的等價條件。
4.5 掌握半正定二次型的等價條件。
5. 線性空間
5.1 掌握集合與映射的相關概念。
5.2 熟練掌握線性空間及其基于維數等相關概念。
5.3 會求線性空間的基與維數。
5.4 掌握基變換與坐標變換的公式，。
5.5 熟練掌握線性子空間的概念及其判定方法。
5.6 掌握子空間的交與和的定義及性質，熟練掌握維數公式。
5.7 深刻理解子空間的直和的概念，掌握判定直和的充要條件。
5.8 理解并掌握線性空間同構的定義、性質及有限維空間同構的充要條件。
6. 線性變換
6.1 理解并掌握線性變換的定義及性質。
6.2 掌握線性變換的運算及運算律，理解線性變換的多項式。
6.3 掌握線性變換與矩陣的關系，掌握矩陣相似的概念及性質。
6.4 理解并掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念及性質，會求矩陣
的特征值和特征向量，掌握哈密爾頓-凱萊定理。
6.5 掌握線性變換的值域與核的概念及相關理論。
6.6 了解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系。
7. 歐幾里得空間
7.1 深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論。
7.2 掌握向量的內積和向量的度量性質。
7.3 正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化方法。
7.4 理解并掌握正交變換的概念與等價條件，掌握正交變換與向量長度、標準正
交基以及正交矩陣的關系。
7.5 理解兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系。
7.6 熟練掌握實對稱矩陣的進一步性質。
8. 多項式
8.1 了解多項式的定義與基本運算。
8.2 掌握多項式整除的概念、性質與帶余除法。
8.3 掌握最大公因式的概念、存在性與求法,掌握多項式互素的概念與相關性質。
8.4 掌握不可約多項式的概念、性質。
8.5 了解因式分解定理以及復系數與實系數多項式的因式分解定理。
8.6 了解重因式的概念以及多項式有重因式的充要條件。
8.7 了解多項式函數的概念、余數定理、代數基本定理。
8.8 掌握求有理系數多項式的全部有理根的方法以及 Eisenstein 判別法。
9. ?? 矩陣
9.1 了解 ?? 矩陣的定義、 ?? 矩陣的初等變換、 ?? 矩陣的標準形以及 ?? 矩陣
的行列式因子、不變因子等概念，了解 ?? 矩陣等價的充要條件,掌握用初
等變換將 ?? 矩陣化為標準形的方法。
9.2 掌握矩陣初等因子的概念、求法以及數字矩陣相似的充要條件。
9.3 了解矩陣的 Jordan 標準形以及有理標準形的概念，掌握矩陣的 Jordan 標準
形的求法，了解矩陣有理標準形的求法。
《常微分方程》考試大綱
1. 初等積分法
1.1 掌握微分方程與解的基本定義，認識常微分方程課程的整體結構。
1.2 掌握分離變量法，會用該方法求解變量可分離方程。
1.3 掌握兩類可轉化為可分離變量形式微分方程的解法，重點掌握齊次方程解法。
1.4 掌握一階線性常微分方程的解法——常數變易法，會用該方法求解非齊次方
程。
1.5 掌握全微分方程及積分因子的基本概念，掌握全微分方程求解法，會用積分
因子法將非全微分方程轉化為全微分方程。
1.6 掌握參數法求解一階隱式微分方程，具體會解 4 種形式的一階隱式微分方
程。
1.7 掌握幾種可降階的高階方程的解法。
1.8 介紹一階微分方程應用舉例 1.等角軌線；2.在動力學中的應用。
2. 基本定理
2.1 了解微分方程定性理論的發展背景，掌握微分方程解的幾何意義。
2.2 重點掌握解的存在性與唯一性定理，理解定理條件。
2.3 掌握可延展解與不可延展解的定義，掌握不可延展解的存在定理和性質。
2.4 掌握奇解概念及求解奇解的方法。掌握包絡的概念及求解包絡的方法。掌握
克萊洛方程的類型及求解方法。
2.5 掌握解對初值的連續依賴性和解對初值的可微性。
3. 一階線性微分方程組
3.1 掌握線性微分方程組的一般理論及微分方程組所有解的代數結構。
3.2 掌握齊線性微分方程組的基解矩陣。
3.3 掌握非齊方程組的常數變易法。
3.4 掌握運用特征根求解常系數齊線性微分方程組的基解矩陣。常系數非齊次線
性微分方程組的通解公式。
3.5 掌握常系數齊次線性微分方程組的基解矩陣為 xA
ex ?)(? 。
4．n 階線性微分方程
4.1 掌握 n 階線性齊次方程的一般理論，包括通解結構、基本解組的概念；掌握
非齊次線性微分方程的通解結構，已知齊次方程通解會運用常數變易法求非
齊方程通解。
4.2 重點 n 階常系數線性齊次方程解法，即運用特征方程的特征根求解 n 階常系
數齊線性方程的通解。
4.3 掌握系數比較法求解 n 階常系數線性非齊次方程的運算技巧。
4.4 理解二階常系數線性方程與振動現象的關系。
4.5 了解拉普拉斯變換。
5.常微分方程解的穩定性介紹
5.1 掌握常微分方程解穩定性概念,及穩定性的判定方法。
5.2 掌握李雅普諾夫第二方法。
5.3 了解平面自治系統基本概念，了解某些平面定性理論。
《復變函數》考試大綱
1. 復數及其幾何表示
1.1 掌握復數及其運算，掌握復數域概念。
1.2 掌握復數的幾種表示方法。
1.3 掌握復數的球極射影、復球面、無窮大及擴充的復平面等概念。
1.4 掌握內點、聚點、邊界點、開集、閉集及緊集等復平面拓撲概念。
1.5 掌握簡單曲線及光滑曲線概念,掌握若爾當定理。
2. 復變函數
2.1 掌握復變函數以及復變函數的極限、連續、可微和解析等概念。
2.2 熟練掌握柯西－黎曼條件。
2.3 掌握輻角函數,了解多值函數。
2.4 掌握支點概念，掌握指數函數、對數函數、冪函數及三角函數等初等函數。
3. 復變函數的積分
3.1 掌握復變函數積分的定義及性質。
3.2 掌握多邊形區域周界的積分性質, 掌握積分與原函數的關系。
3.3 熟練掌握柯西定理。
3.4 熟練掌握柯西公式并會運用該公式進行積分計算。
3.5 掌握莫雷拉定理。
4. 級數
4.1 掌握級數和數列的基本性質,掌握復數項級數和復數序列的收斂性及收斂的
條件。
4.2 掌握冪級數的收斂性，掌握冪級數的收斂半徑的求法。
4.3 掌握解析函數的泰勒展式,掌握解析函數泰勒展式的唯一性。
4.4 掌握解析函數的零點、零點的階及零點的孤立性。
4.5 掌握解析函數的洛朗展式和洛朗級數, 掌握洛朗展式的唯一性。
4.6 掌握解析函數的孤立奇點, 掌握孤立奇點的判別方法。
4.7 掌握解析函數在無窮遠點的性質。
5. 留數
5.1 掌握留數概念及留數定理,掌握留數的計算方法。
5.2 掌握留數在計算定積分和廣義積分計算中的應用。
6. 保形映射
6.1 掌握單葉解析函數概念及性質。
6.2 掌握導數的幾何意義。
6.3 掌握分式線性函數的概念，掌握分式線性函數的構成。
6.4 掌握分式線性函數的映射性質。
6.5 掌握兩個特殊的分式線性函數:把上半平面保形映射成單位圓盤的分式線
性函數；把單位圓盤保形映射成單位圓盤的分式線性函數。
6.6 了解最大模原理。
《實變函數》考試大綱
1. 集合與基數
1.1 掌握集合概念及其運算:De Morgan 公式。
1.2 熟練掌握集合基數概念。
1.3 重點掌握可數集合的性質。
1.4 了解不可數無窮集。
1.5 掌握鄰域、內部、導集、開集、閉集、完備集的概念。
1.6 掌握開集、閉集、完備集、Borel 集的性質及構造。
2. 測度理論
2.1 掌握外測度的定義及其性質。
2.2 重點掌握測度的定義及其性質。
2.3 重點掌握一維空間點集的測度：開集的測度，閉集的測度。
2.4 了解乘積空間點集的測度。
3. 可測函數
3.1 掌握可測函數的定義及其性質。
3.2 掌握幾乎處處的概念。
3.3 重點掌握 Egoroff 定理。
3.4 重點掌握可測函數的結構及 Lusin 定理。
3.5 重點掌握依測度收斂。
4. 積分理論
4.1 掌握非負可測函數積分的定義及性質。
4.2 掌握可測函數積分的定義及性質。
4.3 重點掌握 Levi 定理。
4.4 重點掌握 Fatou 引理。
4.5 重點掌握 Lebesgue 控制收斂定理。
4.6 了解 Lebesgue 有界收斂定理。
4.7 了解 Fubini 定理。
4.8 了解不定積分。
《近世代數》考試大綱
1. 基本概念
1.1 理解集合的概念，了解元素與集合之間的關系，以及集合之間的運算。
1.2 理解映射的概念，能在集合之間建立映射關系，并判斷兩個映射是否相同。
1.3 掌握代數運算的概念及其滿足的運算律，能建立有限集合之間的運算表。
1.4 掌握同態映射和同構映射的概念，理解同態與同態滿射的關系，并能判定映
射是否是同態滿射或是單射，掌握具有同態滿射的集合之間的聯系。
1.5 理解關系和等價關系的概念，掌握等價關系和分類之間的轉換定理，和熟練
判定給定的關系是否是等價關系，并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環
提供典型的范例，能建立整數間給定的模的剩余類
2. 群
2.1 熟悉群的定義，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限
群、群的階和交換群的概念。
2.2 理解群同構、同態的定義，掌握群同態的有關性質。
2.3 掌握循環群的定義和由生成元決定循環群的性質與特點，熟練掌握剩余類加
群的性質和運算，知道循環群可以與整數加群或模為 n 的剩余類加群同構。
2.4 了解變換群的定義，理解置換群定義，掌握對稱群中元素的乘法、元素求逆
等運算，理解循環置換、對換定義。
2.5 了解子群的定義以及子群與子群之間的關系，掌握正規子群的定義和判定條
件及其性質，理解商群的定義。
2.6 掌握陪集的定義，以及與等價關系和分類之間的關系，了解子群與陪集之間
的映射關系，掌握關于群的階數和指數的幾個重要定理。
2.7 理解群同態和同構的定義，重點掌握群同態基本定理和群同構定理，掌握群
同態基本定理和同構定理證明的應用。
3. 環與域
3.1 理解環和交換環的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質并能熟練運用,
掌握消去律與零因子的關系。
3.2 理解整環、除環和域的定義，理解環特征的定義，掌握判別環是除環、域的
方法。
3.3 了解子環、子除環、子域定義，掌握判別子環、子域的方法。
3.4 理解理想、主理想的定義，會判別一個理想子環是否為主理想子環。
3.5 掌握素理想、極大理想的概念，并了解這兩類理想的判別方法。
3.6 了解商環的定義，熟悉模 n 的剩余類的運算，了解在同態映射下的兩個環相
互之間的關系、性質，掌握環的同態基本定理。
4. 唯一分解整環
4.1 了解整環元素整除的定義，了解單位、相伴元、真因子、既約元的定義及之
間關系。
4.2 理解唯一分解環的定義，掌握判別唯一分解環的方法。
4.3 理解主理想整環、歐氏環的定義，了解與其相關的定理。
5. 域的擴張
5.1 了解擴域的定義和相關定理，理解單擴域、素域的定義。
5.2 了解超越元，單超越擴域；代數元，單代數擴域的定義。
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