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碩士研究生入學考試
綜合考試（近世代數、泛函分析、常微
分方程）科目大綱
(科目代碼：945)
學院名稱(蓋章)： 數學與統計學院
學院負責人(簽字)：
編 制 時 間： 2014 年 8 月 30 日
綜合考試（近世代數、泛函分析、常微分方程）科目大綱
(科目代碼：945)
近世代數
第一章 基本概念
考試要點：
要讓學生掌握一些基本概念：代數運算、結合律、交換律、分配律、同態與同構、等價
關系與集合分類的定義；理解結合律、交換律、分配律的作用以及同態滿射保持結合律、交
換律、分配律這些數學事實；熟練應用等價關系與集合分類可以相互決定這一結論。
考試內容：
第一節 代數運算與算律
主要講授代數運算的定義及例子，結合律及其性質，交換律及其性質，分配律及其性質
等。
第二節 同態與同構
主要介紹兩個帶有代數運算的集合之間的保持代數運算的映射、滿射及雙射以及它們各
自的性質。
第三節 等價關系與集合分類
主要介紹等價關系與集合分類這兩個概念以及等價關系與集合分類這二者之間的關系。
考核要求：
要讓學生識記代數運算、結合律、交換律、分配律、同態與同構、等價關系與集合分類
的定義；領會結合律、交換律、分配律的作用；領會同態滿射保持結合律、交換律、分配律，
等價關系與集合分類可以相互決定這些數學事實。
第二章 群論
考試要點：
要讓學生掌握有關群的一些基本概念：群、變換群、置換群、循環群、子群、陪集、不
變子群、商群；判斷群、子群、不變子群、商群的方法；理解群論的一些重要結論：Cayley
定理、Lagrange 定理、群的同態基本定理。
考試內容：
第一節 群的定義與基本性質
介紹群的兩種定義的等價性。對有限群給出第三種定義。介紹群的消去律、以及群中的
元的階的性質。介紹群的同態。
第二節 變換群
介紹變換的概念；給出變換群的定義；介紹一個集合的最大變換群、最小變換群；介紹
Cayley 定理。
第三節 置換群
介紹 n 次對稱群 Sn 的概念；介紹 Sn 中的每個置換都可以表成互相沒有共同數字的循環
置換的乘積這一重要結論。
第四節 循環群
介紹循環群及其生成元的概念；介紹與循環群的存在問題、數量問題、結構問題有關
的結論。
第五節 子群
介紹子群的定義以及判斷方法、群的子集生成的子群的特點。
第六節 子群的陪集
定義左同余關系以及右同余關系；確定這兩個同余關系的等價類，得出一個群 G 的子
群 H 在 G 中的左、右陪集的數目相等這一重要結論。介紹 Lagrange 定理。
第七節 不變子群、商群
介紹不變子群的定義，給出判斷一個子群是不變子群的方法。介紹商群。
第八節 同態與不變子群
介紹子群、不變子群與群的同態之間的關系。
考核要求：
學生必須識記并領會有關群的一些基本概念；會利用所學知識判斷群、子群、不變子群、
商群；學生必須有嚴格的思維能力以及邏輯推理能力；可以綜合應用所學的知識去解決簡單
群論問題,例如較小階群的分類問題等。
第三章 環與域
考試要點：
要讓學生掌握有關環與域的一些基本概念：環、交換環、有單位元環、無零因子環、整
環、除環、域、子環、子除環、子整環、子域、環的同態、理想、零理想、單位理想、主理
想、環中多個元生成的理想、剩余類環、極大理想；理解環論的一些重要結論：不定元存在
定理、環的同態基本定理、剩余類環是域的充要條件等。
考試內容：
第一節 定義與基本性質
介紹加群、環、交換環、有單位元環、無零因子環、整環、除環、域等基本概念；無零
因子環中環的消去律才成立；介紹無零因子環的特征的概念；介紹無零因子環的特征是有限
數時，特征是素數這一結論。
第二節 子環、環的同態
介紹子環、子除環、子整環、子域、環的同態等概念；探討與環的同態有關的環的性質；
介紹挖補定理。
第三節 多項式環
介紹含單位元的交換環 R 上的多項式、R 上的多項式環以及 R 上的未定元等概念；給
出 R 上的未定元是存在的這一重要結論。
第四節 理想
介紹環的理想、零理想、單位理想、主理想、環中多個元生成的理想等概念；介紹環
的主理想中的元素的特點；給出除環只有零理想和單位理想這一重要結論。
第五節 剩余類環、同態與理想
類比于群論中的商群，在環論中有商環（也叫剩余類環）。給出商環的概念之后，介紹
環的同態基本定理；介紹子環、理想與環的同態之間的關系。
第六節 極大理想
給出極大理想的定義；介紹判斷一個理想是極大理想的方法，探討如何利用極大理想
去構造域。
第七節 商域
類比于整數環與有理數域之間的關系，介紹一個環的商域的概念，并給出一個無零因
子的交換環的商域的存在性與唯一性定理。
考核要求：
學生必須識記并領會有關環的若干基本概念；會利用所學知識判斷環、子環、子除環、
理想、極大理想、商環等；可以綜合應用所學的知識去解決簡單環論問題。
第四章 整環里的因子分解
考試要點：
要讓學生掌握一些基本概念：不可約元、唯一分解、主理想環、歐氏環；理解關于整環
里的因子分解的一些重要結論：一個整環是唯一分解環的充要條件；主理想環是唯一分解環、
歐氏環是唯一分解環等。
考試內容：
第一節 不可約元、唯一分解
給出整環中元素整除的定義；介紹平凡因子、不可約元、唯一分解、唯一分解環等概念；
舉例說明，存在不是唯一分解環的整環。
第二節 唯一分解環
介紹一個整環是唯一分解環的充要條件；介紹唯一分解環中與最大公因子的存在問題、
數量問題有關的結論。
第三節 主理想環
介紹主理想環，并給出主理想環是唯一分解環這一重要結論。
第四節 歐氏環
介紹歐氏環，并給出歐氏環是唯一分解環這一重要結論。
考核要求：
學生必須識記并領會有關整環里的因子分解的若干基本概念；會利用所學知識判斷較簡
單的整環是否為唯一分解環；可以綜合應用所學的知識去解決一些簡單的關于整環的因子分
解的問題。
三、參考書目
1、張禾瑞，《近世代數基礎》，高等教育出版社，1978 年 5 月修訂第 1 版。
2、吳品三，《近世代數》，高等教育出版社，1979 年 12 月第 1 版。
3、劉紹學，《近世代數基礎》，高等教育出版社，1999 年 10 月第 1 版。
4、楊永保，《近世代數》，西北師范大學油印本，2000
常微分方程
第一章 初等積分法
考試要點
準確理解微分方程的一些最基本的概念；按如下兩條主線掌握一階方程的初等積分法：
變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程，全微分方程和通過積分因子法或分項
組合法可化為全微分方程的方程；掌握隱式微分方程的微分消參法和可降階的高階微分方程
的解法。
考試內容
第一節 微分方程與解
基本概念：微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）、定解問題，通
過單擺方程和人口模型等介紹微分方程的背景和建立微分方程求解應用問題的基本方法。
第二節 變量可分離方程
第三節 變量分離法。
第四節 齊次方程
齊次方程和一些齊次方程的變形的解法。
第五節 一階線性方程
一階線性方程的解法—常數變易法與 Bernoulli 方程的解法；通過解的一般表達式討論
解的性質。
第六節 全微分方程及積分因子
全微分方程的解法和積分因子法、分項組合法。
第七節 線素場 歐拉折線
一階微分方程的幾何解釋和歐拉折線法。
第八節 一階隱式微分方程
一階隱式微分方程的微分消參法，特別是 Clairaut 方程的解法、奇解與包絡。
第九節 一階微分方程應用舉例
簡介
第十節 幾種可降階的高階方程
幾種可降階的高階微分方程的解法。
考核要求
掌握微分方程的基本概念--微分方程、階、解與積分（通解與通積分，特解與積分）
等；掌握變量分離方程和通過變換可化為變量分離方程的方程、全微分方程和通過積分因
子法或分項組合法可化為全微分方程的一階微分方程的解法；掌握隱式微分方程的微分消
參法和可降階的高階微分方程的解法；能夠通過解的一般表達式討論解的性質，理解和應
用奇解概念；通過建立微分方程求解一些應用問題。
第二章 基本定理
教學要點
解的存在唯一性定理、延拓定理、解對初值的連續依賴性和可微性定理以及所涉及概念
的準確理解，解的存在唯一性定理的詳細證明。
教學內容
第一節 解的存在性與唯一性定理
引進并詳細證明解的存在唯一性定理；依據具體例子對定理的條件做詳細說明。
第二節 解的延展
介紹并證明解的延展定理，示例說明該定理的條件；介紹第一比較定理。
第三節 解對初值的連續依賴性
介紹并證明解對初值的連續依賴性定理。
第四節 解對初值的可微性
介紹并證明解對初值的可微性定理。
考核要求
重點掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的內容以及解的存在唯一性定理的證明思想；
熟練掌握 Picard 逼近列、Lipschits 條件和延拓概念。
第三章 線性微分方程
考試要點
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法和常系數線
性微分方程的特征根法、比較系數法、Laplace 變換；理解振動現象。
考試內容
第一節 線性方程的一般性質
線性微分方程的解的存在唯一性定理及線性微分算子的性質。
第二節 n 階線性齊次微分方程
建立齊次線性微分方程的一般理論，得到通解結構定理，證明 Liouville 公式并應用到
2 階微分方程。
第三節 n 階線性非齊次方程
n 階線性非齊次方程的通解結構定理與常數變易法。
第四節 n 階常系數線性齊次微分方程解法
用特征根法解常系數線性齊次微分方程的基本步驟、理論證明、典型示例。
第五節 n 階常系數線性非齊次微分方程解法
比較系數法的建立、理論證明、典型示例。
第六節 Laplace 變換
介紹 Laplace 變換以及如何應用 Laplace 變換求解一些常系數線性非齊次微分方程的
Cauchy 問題。
第七節 2 階常系數線性方程與振動現象
依據線性微分方程的解的表示解釋振動現象。
考核要求
準確理解線性微分方程的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法、特征根法、
比較系數法和 Laplace 變換；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。
第四章 線性微分方程組
考試要點
準確理解線性微分方程組的一般理論；能夠熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法、常
系數線性微分方程的特征根法和簡單的非齊次方程的解法。
考試內容
第一節 一階微分方程組
一階微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
第二節 線性微分方程組的一般概念
一階線性微分方程組初值問題解的存在唯一性定理。
注：第一節與第二節共 2 學時
第三節 線性齊次微分方程組的一般理論
建立線性齊次微分方程組的一般理論，得到通解結構定理，證明 Liouville 公式。
第四節 線性非齊次微分方程組的一般理論
線性非齊次微分方程組的一般理論和常數變易法。
第五節 常系數線性微分方程組的解法
特征根法—理論證明與方法的熟練應用；簡單的非齊次方程的解法。
考核要求
準確理解線性微分方程組的一般理論；熟練掌握 Liouville 公式、常數變易法和特征根
法；能夠依據解的一般表示討論解的一些屬性。
第五章 定性與穩定性概念
考試要點
二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；極限環的定義與示例；穩定性概念
及其判定定理，分別應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov 第二方法討論自治
系統的解的穩定性。
考試內容
第一節 相平面作圖 單擺
自治系統及其軌線的分類與性質。
第二節 初等奇點附近的軌線分布
二維自治系統初等奇點的分類—結點、鞍點、焦點、中心及其附近的軌線分布。
第三節 極限環舉例
極限環的定義與示例。
第四節 穩定性概念
穩定性概念、判定定理和判定方法，著重 Liapunov 第二方法。
考核要求
重點掌握二維自治系統初等奇點的分類及其附近的軌線分布；理解穩定性概念及其判定
定理，會應用穩定性概念、線性化系統的特征值、Liapunov 第二方法討論自治系統的解的
穩定性。
二、 參考書目
1、 東北師范大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年。
2、 葉嚴謙，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年（第二版）。
3、 中山大學數學系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983 年（第二版）。
4、 國家教育委員會師范教育司，《普通高度師范學校數學教育專業（本科）教育教學基本
要求（試行）》，首都師范大學出版社，1994。
泛函分析
第一章 度量空間與線性賦范空間
考試要點：
度量空間的概念，例子；度量空間中的收斂性與連續性；稠密性；可分性；Cauchy 列
與度量空間的完備性；壓縮映像原理及其應用；線性賦范空間的概念，例子；Banach 空間
的概念。
考試內容：
第一節 度量空間的概念與例子
距離及度量空間的定義；例子（歐氏空間 n
R ；連續函數空間 ],[ baC ；數列空間
p
l 等）。
第二節 度量空間中的極限? 稠密性? 可分空間
領域的概念；收斂點列；有界集；具體空間中收斂性的意義；稠密性與可分空間的概念；
不可分空間的例子。
第三節 連續映射
映射連續性的各種定義及其等價性。
第四節 Cauchy 點列與完備度量空間
度量空間中 Cauchy 點列的概念；完備度量空間的定義；完備度量空間與不完備度量空
間的各類例子；度量空間閉子空間的完備性。
第五節 度量空間的完備化
等距同構；度量空間的完備化定理；
第六節 壓縮映像原理及其應用
壓縮映像的定義；壓縮映像原理；在隱函數定理及常微分方程中的應用。
第七節 線性空間
本節內容為線性空間的基本概念。因學生已在高等代數課程中學過有限維空間的有關
內容，故只需簡要回顧并強調無限維線性空間的特征即可。
第八節 線性賦范空間和 Banach 空間
范數，線性賦范空間和 Banach 空間的概念；依范數收斂； n
R 空間； ],[ baC 空間； ?
l
空間； ?
L 空間； ],[ baL
p
空間； p
l 空間；有限維賦范空間的拓撲同構性。
考核要求：
掌握度量空間，線性賦范空間和 Banach 空間的概念和性質；掌握映射連續性，度量空
間的完備性等概念；熟悉 n
R 空間， ],[ baC 空間， ?
l 空間， ?
L 空間， p
l 空間， ],[ baL
p
空
間；透徹理解壓縮映像原理及其簡單應用。能獨立解答基本的習題。
第二章 線性有界算子和線性連續泛函
考試要點：
線性有界算子，線性連續泛函，線性算子空間，共軛空間。
考試內容：
第一節 線性有界算子與線性連續泛函
線性有界算子與線性連續泛函的概念，例子，有界與連續的等價性，線性有界算子零空
間的性質，算子范數。
第二節 線性算子空間和共軛空間
線性算子空間的結構及其完備性，共軛空間，保距算子，同構映照，同構，一些具體空
間的共軛空間。
考核要求：
掌握線性有界算子，線性連續泛函，有界性，連續性，算子范數，共軛空間，保距算子，
同構映照，同構等基本概念；掌握有界與連續的等價性定理，基本定理；能夠計算簡單的算
子范數和一些具體空間的共軛空間。能獨立解答基本的習題。
第三章 內積空間和 Hilbert 空間
考試要點：
內積空間，投影定理，Hilbert 空間，就范直交系，Hilbert 空間上線性連續泛函的表示。
考試內容：
第一節 內積空間的基本概念
內積空間與 Hilbert 空間的定義，平行四邊形公式，內積空間的判定。
第二節 投影定理
點到集合的距離，凸集，極小化向量定理，集合的正交，Hilbert 空間的正交分解，投
影算子及其性質。
第三節 Hilbert 空間中的就范直交系
就范直交系，Fourier 系數集，Bessel 不等式，Parseval 恒等式，完全就范直交系的定義
與判定, Fourier 展式，Gram-Schmidt 正交化過程，Hilbert 空間的同構。
第四節 Hilbert 空間上的線性連續泛函
Riesz 表示定理，共軛算子及其性質。
第五節 自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念與簡單性質。
考核要求：
掌握內積空間，Hilbert 空間，平行四邊形公式，就范直交系，Bessel 不等式，Parseval
恒等式，Fourier 展式，投影算子，共軛算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；
掌握極小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理, Riesz 表示定理等基本定理
的內容與證明；能獨立解答基本的習題。
第四章 Banach 空間中的基本定理
考試要點：
Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示定理，線性賦范空間中的共軛算子，
第一節 泛函延拓定理
次線性泛函，Hahn-Banach 泛函延拓定理的實形式、復形式及其推論。
第二節 ],[ baC 的共軛空間、Riesz 表示定理
第三節 共軛算子
第四節 線性賦范空間中共軛算子的定義及性質。
第五節 綱定理和一致有界性定理
第一綱集，第二綱集，Baire 綱定理, 一致有界性定理強收斂、弱收斂和一致收斂
強收斂、弱收斂、弱*收斂和一致收斂的定義，例子，相互關系，強收斂的充要條件。
第六節 逆算子定理
逆算子定理及其證明。
第七節 閉圖象定理
線性算子的圖象，閉算子，閉圖象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于 Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示
定理，Baire 綱定理，逆算子定理，閉圖象定理是泛函分析基礎理論的主要構成部分，要求
熟練掌握這些內容；能獨立解答基本的習題。
第五章 線性算子的譜
考試要點：
簡要介紹線性算子的譜的概念，基本性質。
譜的概念
正則算子，正則點，正則集，譜點，特征值，特征向量，點譜，連續譜，例子。
第一節 線性有界算子譜的基本性質
譜集的閉性。
考核要求：
了解線性算子的譜的概念，基本性質。
三、參考書目
1、 程其襄等，《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王聲望， 鄭維行，《實變函數與泛函分析概要》，第二冊，高等教育出版社，1992，
第二版。
3、 夏道行等，《實變函數論與泛函分析》，下冊，高等教育出版社， 1985，第二版。
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