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碩士研究生入學考試大綱
考試科目名稱: 泛函分析
一、援引教材
《泛函分析》第二版 高等教育出版社 江澤堅 孫善利編
二、考試要求
要求考生全面系統地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能靈活運用，具備較強
的分析問題與解決問題的能力。
三、考試內容
（一）距離線性空間
1． 距離線性空間的定義，常見的距離線性空間的距離定義及其性質。
2． 距離空間中的拓撲涵義，可分空間。
3． Cauchy 序列的性質，距離空間的完備性。
4． 列緊集，完全有界集的定義及它們之間的關系。
5． 賦范線性空間定義；范數與距離的關系；有限維賦范線性空間的結構。
6． 賦范線性空間上的線性算子及有界線性算子的定義、性質與計算方法。
7． 常見空間 ],[,],,[ baLlbaC
pp
以及 )(),(),( cms 等空間中距離與范數之間的定義及關系。
掌握這些空間的可分性，完備性及拓撲性質。
8． 壓縮映射定義，掌握壓縮映象原理，并能熟練的應用定理解決問題。了解壓縮映象原理
在理論上的典型應用。
（二）Hilbert 空間
1． 內積空間的定義，性質；內積與范數、距離之間的關系。
2． 賦范線性空間成為內積空間的條件，常見賦范線性空間是否成為內積空間的判別。
3． 掌握內積空間 ],[,
22
baLl 的定義及其性質。
4． Hilbert 空間的定義；Hilbert 空間上的正規正交基，正規正交分解；
5． 掌握并熟練運用 Bessel 不等式、Schwarz 不等式及 Parseval 公式。
6． 掌握可分 Hilbert 空間的結構。
7． 掌握射影定理，理解其涵義，并能加以應用；掌握 RieszcheteFr ?
/
表現定理，Hilbert
空間上的線性泛函的表示。
8． Hilbert 共軛算子的定義、性質及其表示；可分 Hilbert 空間上有界線性算子的矩陣表達
式。
（三）Banach 空間及 Banach 空間上的有界線性算子
1. Banach 空間上的有界線性算子定義；算子范數的計算；范數的比較。
2. 有界線性算子空間 ),( YXL 的性質。
3. 算子的逆，逆算子存在、連續的條件；利用逆算子解決一些積分方程等方面的實際問題。
4. Hahn-Banach 定理；擴張定理的幾種表現形式，如 Banach 擴張定理、Bohnenblust-Sobczyk
定理等。
5. Hahn-Banach 定理的一些推論，體現的不同側面的 Hahn-Banach 定理的具體表現形式；
Hahn-Banach 定理的幾何形式。Hahn-Banach 定理在理論及實際上的應用。
6. 分離定理，及其與 Hahn-Banach 定理之間的關系。
7. Baire 綱定理；第一綱集、第二綱集的定義與分類。
8. 一致有界原理（共鳴定理）；開映射定理；Banach 逆算子定理；閉圖形定理以及它們的應
用。
9. 對偶空間的定義，幾個具體空間上的對偶空間及它們的連續泛函形式，如
],[),1](,[],,[),1(,
1
bacpbaLbaLpll
pp
?????? 等。
10. 二次對偶、典型映射、自反空間的定義；有限維賦范線性空間、 )1](,[ ??? pbaL
p
、
Hilbert 空間的自反性質。了解常見的不是自反空間的例子。
11. Banach 共軛算子的定義、性質及其矩陣表示。
12. 算子的值域、零空間、商空間的定義與它們之間的關系。
（四）有界線性算子譜論
1. 有界線性算子的預解式與譜的定義及其計算。
2. 掌握譜半徑公式，應用公式解決問題。
3. 射影算子的定義；有界線性算子的不變子空間與約化子空間；F.Riesz 空間分解定理。
4. 緊算子的定義及其性質；緊算子的實例；緊算子與理想的關系。
5. Riesz-Schauder 理論：F.Riesz 定理；兩擇一定理；Fredholm 交替定理等定理內容與應
用。
6. 有界自伴算子的基本性質；緊自伴算子的定義與性質；酉算子的定義與性質。
7. 有界自伴算子的譜測度，譜分解定理與函數演算。
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