2018年浙江師范大學682高等數學考研大綱

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浙江師范大學碩士研究生入學考試初試科目
考試大綱
科目代碼、名稱: 682 高等數學
適用專業: 070200 物理學（一級學科）
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。
（三）試卷內容結構（考試的內容比例及題型）
各部分內容所占分值為：
第一部分高等數學約 120 分
第二部分線性代數約 30 分
（四）試卷題型結構
填空題：10 小題，每小題 4 分，共 40 分
計算、應用、證明題：10 題，每題 10-12 分，共 110 分
二、考查目標（復習要求）
全日制攻讀碩士學位研究生入學考試高等數學科目考試內容包括高等數學、線性代數等
兩門物理學科基礎課程，要求考生系統掌握相關學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并
能運用相關理論和方法分析、解決有關問題。
三、考查范圍或考試內容概要（1-6 為第一部分，7 為第二部分）
1．函數、極限與連續
理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。了解函
數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱
函數的概念。掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的基本概念。理解極限的概
念、函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限存在之間的關系。掌握極限
的性質及四則運算法則、極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極
限求極限的方法，理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求
極限。理解函數連續性的概念，掌握函數間斷點的類型的判別方法。了解連續函數的性質和
初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定
理），并會應用這些性質。
重點：分段函數，復合函數，左右極限，兩個重要極限，無窮小的比較，函數的間斷點。
2．一元函數微分學
理解導數和微分的概念和關系、導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程。
了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。
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掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則、基本初等函數的導數公式．了解微分的四
則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。了解高階導數的概念，會求簡單函
數的 n 階導數、分段函數的二階導數。會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的
導數。理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解柯西中值定理。理解函數
的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法、函數最大值和最小值的求
法及其簡單應用。用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜
漸近線，會求平面曲線的曲率。掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
重點：復合函數、隱函數的求導，利用洛必達法則求極限，利用導數研究函數的性質。
3．一元函數的積分學
理解原函數、不定積分和定積分的概念和性質。掌握不定積分的基本公式、換元積分法
與分部積分法。會求有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。了解積分上限的函
數，會求它的導數，掌握牛頓—萊布尼茨公式。了解廣義積分的概念，會計算無窮區間和無
界函數的廣義積分。掌握用定積分計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的
弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數
的平均值。
重點：積分的計算，求積分上限函數的導數，用定積分求平面圖形的面積和旋轉體體積。
4．多元函數微積分學
了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義、二元函數的極限與連續的概念、有界閉區
域上二元連續函數的性質、多元函數偏導數與全微分的概念，掌握多元復合函數一階、二階
偏導數的計算，會求全微分，了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。了解多元函
數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充
分條件，會求二元函數的極值和條件極值、簡單多元函數的最大值和最小值。了解二重積分
的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法。會用 Nabla 算子表示
并計算標量函數的梯度和向量函數的散度、旋度，掌握積分三大公式（格林公式、高斯公式
和斯托克斯公式）及其應用。
重點：多元復合函數和隱函數的一階、二階偏導數，二元函數的極值（包括條件極值），
一些簡單的應用問題，二重積分在直角坐標和極坐標下的積分計算，積分三大公式及應用。
5．無窮級數
了解級數的收斂與發散、收斂級數的和。掌握級數的基本性質和級數收斂的必要條件、
幾何級數及 p 級數的收斂與發散的條件、正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用
根值判別法。了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
會求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域。了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和函
數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數，會求某些數
項級數的和。掌握麥克勞林展開式，會把簡單函數間接展成冪級數。會將函數展成其傅立葉
（Fourier）級數。
重點：正項級數收斂性的判斷，交錯級數的萊布尼茲判別法，冪級數的收斂半徑和收斂
域，簡單函數展開為冪級數，函數的 Fourier 級數展開。
6．常微分方程
理解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離的微分方程、
齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法。會解二階常系數齊次線性微分方程。了解線
性微分方程解的性質及解的結構定理，會解非齊次項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦
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函數，以及它們的和的二階常系數非齊次線性微分方程。
重點：一階齊次微分方程，一階線性微分方程，二階常系數非齊次線性方程。
7．線性代數
了解行列式的概念和性質，掌握行列式的計算方法。理解矩陣的概念，了解單位矩陣、
數量矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、三角矩陣、反對稱矩陣，以及它們的性質。掌握矩陣的線
性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。理解逆矩
陣的概念和性質，掌握矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆
矩陣。理解矩陣初等變換的概念、初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，
掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解 n 維向量的概念、向量的線性組合與線性
表示的概念、向量組線性相關、線性無關的概念。掌握向量組線性相關、線性無關的有關性
質及判別法。了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無
關組及秩。了解向量組等價的概念、矩陣的秩與該矩陣行（列）向量組的秩的關系。會用克
萊姆法則。理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必
要條件。理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基
礎解系和通解的求法。理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念。會用初等行變換求解
線性方程組。理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，掌握矩陣的特征值和特征向量的
求法。了解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣轉化為相
似對角矩陣。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。
重點：行列式的計算，矩陣的逆，線性方程組解的結構，矩陣的特征值和特征向量，矩
陣的對角化。
參考教材或主要參考書：
1．高等數學（第六版）,同濟大學數學系編，高等教育出版社，2007。
2．線性代數簡明教程（第二版），陳維新編著，科學出版社，2005。
四、樣卷（略）

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