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中國海洋大學
2018 年碩士研究生招生考試大綱
011 數學科學學院
復試考試大綱
實變函數
一、考試性質
《實變函數》是中國海洋大學數學相關專業碩士研究生入學考試復試科目。
二、考察目標
實變函數是近代分析數學的基礎，是數學分析的延續與拓廣?？荚囈钥疾旎?br/>本知識為主，考核對重要定理的理解和應用。旨在測試考生對集合論、可測集、
可測函數、可積函數等基本定義概念的理解和掌握。要求考生理解實變函數的基
本概念和基本理論；掌握其基本論證方法和常用結論；具備較強的邏輯推理能力
及初步的應用能力。
三、考試形式
本考試為閉卷考試，滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。
試卷結構：客觀題 30%、簡答題占 30%，證明題占 40%。
四、考試內容
（一）集合論
1 集合的各種運算，上、下限集的定義
2 集合的對等，集合的基數，集合的可列性；
3 開集、閉集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性質；點集的內部、導
集、閉包、邊界；Cantor 三分集的結構和性質；
4 點到集合的距離，集合間的距離。
（二）可測集
1.外測度、測度和可測集的概念及其性質，集合可測性的判別方法；
2.開集、閉集的可測性，以及它們與可測集之間的聯系。
（三）可測函數
1.可測函數的概念及其性質；
2.函數可測性的判別方法，其與簡單函數的聯系；
3.可測函數列幾種收斂性之間的關系（包括處處收斂、幾乎處處收斂、一致
收斂、近一致收斂、測度收斂）；
4.可測函數和連續函數的聯系
5.葉果洛夫（Egoroff）定理、里斯(Riesz)定理、魯津(Rusin)定理的含義
及應用；
（四）Lebesgue 積分
1.Lebesgue 積分的定義及其性質，函數可積性的判定；
2.積分收斂定理（勒維(Levi)定理，法杜(Fatou)定理和 Lebesgue 控制收斂
定理，Vitali 定理）及應用；
3.Riemann 積分與 Lebesgue 積分之間的區別和聯系； Fubini 定理。
五、是否需使用計算器
否。
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