2018年中國海洋大學617數學分析考研大綱

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中國海洋大學
2018 年碩士研究生招生考試大綱
011 數學科學學院
初試考試大綱
617 數學分析
一、考試性質
數學分析是數學相關專業碩士入學初試考試的專業基礎課程。
二、考察目標
本考試大綱制定的依據是根據教育部頒發的《數學分析》教學大綱的基本要
求，力求反映與數學相關的碩士專業學位的特點，客觀、準確、真實地測評考生
對數學分析的掌握和運用情況，為國家培養具有良好數學基礎素質和應用能力、
具有較強分析問題與解決問題能力的高層次、復合型的數學專業人才。
本考試旨在測試考生對一元函數微積分學、多元函數微積分學、級數理論等
知識掌握的程度和運用能力。要求考生系統地理解數學分析的基本概念和基本理
論；掌握數學分析的基本論證方法和常用結論；具備較熟練的演算技能和較強的
邏輯推理能力及初步的應用能力。
三、考試形式
本考試為閉卷考試，滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
試卷結構：一元函數微積分學、多元函數微積分學、級數理論及其他（隱函
數理論、場論等）考核的比例均約為 1/3，分值均約為 50 分。
四、考試內容
(一) 變量與函數
1、實數：實數的概念、性質，區間，鄰域；
2、函數：變量，函數的定義，函數的表示法，幾何特征（有界函數、單調
函數、奇偶函數、周期函數），運算（四則運算、復合函數、反函數），基本初等
函數，初等函數。
(二) 極限與連續
1、數列極限：定義（?-N 語言），性質（唯一性，有界性，保號性，不等式
性、迫斂性），數列極限的運算，數列極限存在的條件（單調有界準則（重要的
數列極限 en n
n
??
??
1
)1(lim ），迫斂性法則，柯西收斂準則）；
2、無窮小量與無窮大量：定義，性質，運算，階的比較；
3、函數極限：概念（在一點的極限，單側極限，在無限遠處的極限，函數
值趨于無窮大的情形（?-?, ?-X 語言））；性質（唯一性，局部有界性，局部保
號性，不等式性，迫斂性）；函數極限存在的條件（迫斂性法則，歸結原則（Heine
定理），柯西收斂準則）；運算；
4、兩個常用不等式和兩個重要函數極限（ 1
sin
lim
0
?
? x
x
x
， e
x
x
x
??
??
)
1
1(lim ）；
5、連續函數：概念（在一點連續，單側連續，在區間連續），不連續點及其
分類；連續函數的性質與運算（局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（有
界性、最值性、零點存在性，介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函
數的連續性）；初等函數的連續性。
（三）實數的基本定理及閉區間上連續函數性質的證明
1、概念：子列，上、下確界，區間套，區間覆蓋；
2、關于實數的基本定理：六個等價定理（確界存在定理、單調有界定理、
區間套定理、致密性定理、柯西收斂原理、有限覆蓋定理）；
3、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明，最值性定理的證明，
零點存在定理的證明，反函數連續性定理的證明；一致連續性定理的證明。
（四）導數與微分
1、導數：來源背景，定義（在一點導數的定義、單側導數、導函數），導數
的幾何意義，簡單函數的導數（常數、正弦函數、對數函數、冪函數），求導法
則（四則運算，反函數的求導法則，復合函數的求導法則，隱函數的求導法則，
參數方程所表示函數的求導法則）；
2、微分：定義，運算法則，簡單應用；
3、高階導數與高階微分：定義，運算法則。
（五）微分學基本定理及導數的應用
1、中值定理：費馬（Fermat）定理，中值定理（羅爾（Rolle）中值定理、
拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；
2、泰勒公式及應用（近似計算，誤差估計）；
3、導數的應用：函數的單調性、極值和最值，函數凸性與拐點，平面曲線
的曲率，七種待定型與洛必達（L’Hospital）法則；
（六）不定積分
1、不定積分:概念，基本公式，運算法則，計算（換元積分法、分部積分法、
有理函數積分法，其他類型積分）。
（七）定積分
1、定積分：來源背景，概念，函數可積的必要條件，達布上、下和，定積
分存在的充要條件，可積函數類（閉區間上的連續函數，分段連續函數，單調有
界函數)，定積分的性質，定積分的計算（基本公式、換元公式、分部積分公式）；
2、變上限定積分：定義，性質。
（八）定積分的應用
1、定積分在幾何上的應用：平面圖形的面積，曲線的弧長，截面已知的立
體體積，旋轉體的體積，旋轉曲面的面積；
2、定積分在物理上的應用：功、壓力、引力；
3、微元法。
（九）數項級數
1、預備知識：上、下極限；
2、級數的斂散性：無窮級數收斂、發散等概念，柯西收斂原理，收斂級數
的基本性質；
3、正項級數：定義，斂散判別（基本定理，比較判別法，柯西判別法，達
朗貝爾判別法，柯西積分判別法）；
4、任意項級數：絕對收斂級數與條件收斂級數的概念和性質，交錯級數與
萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法。
（十）反常積分
1、反常積分：無窮限的反常積分的概念、性質，斂散判別法（柯西收斂原
理，比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法）；無界函數的反常積分的概
念、性質，斂散判別法。
（十一）函數項級數、冪級數
1、函數項級數的一致收斂性：函數項級數以及函數列的概念，函數項級數
以及函數列一致收斂的概念，一致收斂判別法（柯西收斂原理，優級數判別法，
狄利克雷判別法與阿貝爾判別法）；一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連
續性，可積性，可微性）；
2、冪級數：阿貝爾第一、第二定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致
收斂性，冪級數和函數的分析性質（連續性，可積性，可微性），泰勒（Taylor）
級數與幾種常見的初等函數的冪級數展開。
（十二）傅里葉級數
1、傅里葉級數：引進，三角函數系的正性, 傅里葉系數與傅里葉級數，以 ?2
為周期的函數的傅里葉級數展開，以 L2 （ 0?L ）為周期的函數的傅里葉級數展
開，奇偶函數的傅里葉級數展開，傅里葉級數收斂定理的證明。
（十三）多元函數的極限與連續
1、平面點集：鄰域，點列的極限，開集，閉集，區域，平面點集的幾個基
本定理；
2、二元函數：概念，二重極限和二次極限，連續性（連續的概念、連續函
數的局部性質及有界閉區域上連續函數的整體性質）。
（十四）偏導數和全微分
1、偏導數和全微分：偏導數的概念，幾何意義；全微分的概念；二元函數
的連續性、可微性，偏導存在的關系；復合函數微分法（鏈式法則）；由方程組
所確定的函數（隱函數）的求導法；
2、偏導數的應用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；方向
導數與梯度；泰勒公式。
（十五）極值和條件極值
1、極值：概念，判別（必要條件、充分條件），應用，最小二乘法；
2、條件極值：概念，拉格朗日乘數法，應用。
（十六）隱函數存在定理
1、隱函數：概念，存在定理；
2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式。
（十七）含參變量積分與含參變量廣義積分
1、含參變量的正常積分：定義，性質（連續性、可微性、可積性）；
2、含參變量的反常積分：定義，一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法
（柯西收斂原理、魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法），一
致收斂積分的性質（連續性、可微性、可積性）；
3、歐拉積分：? 函數和? 函數的定義、性質。
（十八）重積分的計算及應用
1、二重積分：二重積分的概念，性質，計算（化二重積分為二次積分，換
元法（極坐標變換，一般變換）；
2、三重積分：計算（化三重積分為三次積分, 換元法（一般變換，柱面坐
標變換，球面坐標變換））；
3、重積分的應用：立體體積，曲面的面積，物體的質心，矩，引力，轉動
慣量；
（十九）曲線積分與曲面積分
1、曲線積分：第一型曲線積分及第二型曲線積分的來源背景、概念、性質、
應用與計算，兩類曲線積分的聯系；
2、曲面積分：第一型曲面積分及第二型曲面積分的來源背景、概念、性質、
應用與計算，兩類曲面積分的聯系。
（二十）各種積分間的聯系和場論初步
1、各種積分間的聯系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯
托克斯(Stokes)公式；
2、曲線積分與路徑無關性：四個等價條件。
3、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度，保守場，哈密頓算子（算子? ）。
五、是否需使用計算器
否。

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