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長春理工大學數學研究生入學加試
《實變函數與泛函分析》考試大綱
一、總體要求
考生應按本大綱的要求，掌握 Lebesgue 的測度論，實變量的可測函數理論，Lebesgue
積分理論與微分理論，掌握度量空間和賦范線性空間的概念和例子，有界線性算子和連續線
性泛函的概念和例子，掌握 Hilbert 空間的基本性質。較好的掌握測度論與抽象積分理論，
并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材
《實變函數與泛函分析基礎(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.
三、考試內容
（一） 集合
1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的關系和判定方法；
2. 熟練掌握集合的和、交、差、余的運算，掌握上限集、下限集和收斂集的定義
3. 會求集合的和、交、差、余，會求集合族的上限集、下限集，會判定集合列是否收
斂；
4. 理解集合基數的概念，對等的概念，掌握 Bernstein 定理，會用 Bernstein 定理判
定集合對等；
5. 掌握可數集合與具有連續基數的不可數集合的概念、例子和運算性質，能夠利用已
知的例子和運算性質去確定集合為哪類無限集合；
6. 知道不存在具有最大基數的集合。
（二）點集
1. 理解距離和距離空間的概念，懂得 Euclid 空間是距離空間；
2. 掌握鄰域的概念與性質，掌握點列收斂、點集距離、有界集和區間的概念；
3．深入理解內點、外點、界點、聚點、孤立點的定義，理解并掌握集合的開核、導集、
邊界、閉包的概念及相關的性質；
4. 熟練掌握開集、閉集的概念和相關性質，掌握緊集的概念，完備集的概念，掌握有
限覆蓋定理；
5. 理解直線上開集、閉集的構造定理，掌握 Cantor 集的性質。
（三）測度論
1.深入理解并熟練掌握外測度，L-可測集的定義和基本性質，并掌握典型的例子
2.理解? 代數的定義，掌握 Borel 集、G? 型集、F? 型集的定義，明確可測集和 Borel
集、 G? 型集、 F? 型集之間的關系，掌握 L-可測集類；
（四）可測函數
1. 理解并掌握可測函數的定義與等價條件，掌握簡單函數的概念，幾乎處處收斂的概
念，理解簡單函數與可測函數的關系；
2. 理解 Egorov 定理，Lusin 定理；
3. 理解并掌握依測度收斂的定義，理解 Riesz 定理，Lebesgue 定理，會利用這兩個定
理去解決實際問題。
（五）積分論
1. 理解并熟練掌握 Lebesgue 積分的定義和等價條件，明確 L-可積函數的種類；
2. 熟練掌握 L-積分的性質：特別是 Lebesgue 控制收斂定理，Levi 定理，逐項積分定
理，積分的可數可加性，Fatou 引理，能夠熟練地利用這些性質解決實際問題；
3. 知道 L-積分與 R-積分的關系；理解 Lebesgue 積分的幾何意義及 Fubini 定理。
（六）微分與不定積分
1. 掌握單調函數、有界變差函數的可微性和其微分的 L-可積性,掌握不定積分的概念，
絕對連續函數的概念，以及 L-可積函數的 Newton-Leibniz 公式；
2. 理解分步積分法；
3. 了解 Steiltjes 積分。
（七）度量空間和賦范線性空間
1. 理解并熟練掌握度量空間中的相關概念和性質，特別是可分空間，完備度量空間，
度量空間的完備化公理，壓縮影射原理及應用；
理解并掌握賦范線性空間的定義，例子；掌握 Banach 空間的定義，例子和性質。
（八）有界線性算子和連續線性泛函
1. 理解并掌握有界線性算子，無界線性算子，連續線性泛函的定義和例子；
2.理解并掌握算子范數的定義，會求簡單的算子范數；
3.理解并掌握有界線性算子空間及其共軛空間的定義，例子，及簡單的性質，會求簡單
的線性算子空間的共軛空間；
4.了解廣義函數的定義和例子。
（九） Hilbert 空間
1. 掌握內積空間的定義，Hilbert 空間的定義和例子，明確內積空間中范數、距離及
正交的定義；
2. 理解并掌握 Hilbert 空間中的投影定理；
3. 掌握規范正交系，Fourier 系數的定義，理解并掌握完全規范正交系，Fourier 展開
式的概念，掌握完全規范正交系的等價條件，判定定理，以及 Hilbert 空間中完全規范正交
系的存在性；
4. 掌握 Riesz 表示定理，共軛算子的概念及性質；
5. 了解自伴算子，酉算子和正常算子的定義和簡單性質。
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