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云南財經大學碩士研究生
《高等代數》入學考試大綱
本考試大綱適用于報考云南財經大學統計與數學學院的統計學(授理學碩士)、
基礎數學、計算數學和應用數學專業的碩士研究生《高等代數》科目的入學考試。
考試方式為閉卷筆試，考試時間為 180 分鐘，考試參考書目為：《高等代數》第三
版，王萼芳，石生明修訂，高等教育出版社，2003 年 7 月，《高等代數》第五版，
張禾瑞，郝鈵新 編，高等教育出版社，2007 年 6 月。
高等代數是數學類研究生必須掌握的專業基礎課，因此《高等代數》的考試目
的是考核考生對《高等代數》課程的基本理論體系和知識結構的掌握情況及熟練程
度，檢測考生抽象思維和邏輯推理能力，以及綜合運用各知識點解決問題的能力，
要求考生概念清楚，對定理理解準確，扎實掌握，還要求有較強的計算能力，對高
等代數的方法能靈活應用。
第一章 多項式
多項式理論是高等代數的重要內容之一。雖然它在高等代數的課程中是一個相
對獨立而自成體系的部分，但卻為高等代數所講的內容提供了理論依據。多項式理
論中的一些重要定理和方法，在進一步學習數學理論和解決問題時常常要用到。一
元多項式的內容十分豐富，重點是整除與因式分解的理論。最基本的結論是帶余除
法定理、最大公因式的存在定理、因式分解的唯一性定理。把握這兩個重點及這三
個定理非常重要。
一、章節綜述及學習要求
本章包含了多項式的定義及整除的概念，因式分解定理、代數學基本定理，復
數域、實數域、有理數域上的因式分解定理。要求掌握本章的相關概念及其相應的
性質。
二、考核知識點
1、一元多項式
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2、整除的概念
3、最大公因式
4、因式分解定理
5、重因式
6、多項式函數
7、復系數與實系數多項式的因式分解
8、有理系數多項式
第二章 行列式
一、章節綜述及學習要求
行列式是高等代數中的一個基本概念，它是在求解線性方程組的過程中得到的
概念。一方面它不僅成為討論線性方程組的有力工具，而且在求矩陣的秩、求逆矩
陣、判斷向量組的線性相關性以及求矩陣的特征值、判斷二次型的正定性與負定性
方面都至關重要。另一方面，它自身也發展成為重要的數學工具，在許多學科領域
有著廣泛的應用。因此應重點掌握行列式的性質及其計算，特別要熟練掌握一些基
本的計算方法。
二、考核知識點
1、排列
2、 n 級行列式定義
3、 n 級行列式的性質
4、行列式的計算
5、行列式按一行(列)展開
6、克拉默法則
7、行列式的乘法規則
第三章 線性方程組
一、章節綜述及學習要求
無論在科學研究領域，還是在工程技術應用中，大量的實際問題都可以劃歸為
求解線性方程組。因此研究線性方程組的求解問題不但是代數學研究的一個重要內
容，而且線性方程組的理論在數學的其他分支及其它學科領域都著廣泛的應用。本
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章從矩陣的秩的觀點來討論線性方程組解的存在性和解的個數問題，從 n 維向量的
線性表示的觀點給出了線性方程組解的結構問題。由于線性方程組提出的基本問題
已經得到完滿解決，因此本章介紹的知識，從內容到方法都應該熟練掌握。
二、考核知識點
1、消元法
2、 n 維向量空間
3、線性相關性
4、矩陣的秩
5、線性方程組有解的判別定理
6、線性方程組解的結構
第四章 矩陣
一、章節綜述及學習要求
行列式只能用來討論一類特殊的線性方程組的求解問題，對于一般的線性方程
組的求解，需要引進一個重要的數學工具—矩陣。矩陣理論是高等代數的主要內容
哦南方之一，同時它在數學領域和其他學科與工程技術領域也是一個十分重要的工
具。因此應該掌握矩陣的相關運算。
二、考核知識點
1、矩陣的概念
2、矩陣的運算
3、矩陣乘積的行列式與秩
4、矩陣的逆
5、矩陣的分塊
6、初等矩陣
7、分塊乘法的初等變換及應用
第五章 二次型
一、章節綜述及學習要求
二次型的理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面為標準形的問題.它不
僅在幾何和數學分析中經常用到,而且在其它學科及工程技術中被廣泛應用.本章通
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過矩陣的乘法將二次型與對稱矩陣聯系起來，這樣二次型的問題與對稱矩陣的問題
就可以相互轉化進行研究。特別正定二次型是一類重要的、典型的二次型，因此正
定二次型與正定矩陣的判定與證明都是非常重要的內容。
二、考核知識點
1、二次型的矩陣表示
2、標準形
3、唯一性
4、正定二次型
第六章 線性空間
一、章節綜述及學習要求
線性空間是高等代數的主要研究對象。線性空間是二維、三維幾何空間與 n 維
向量空間的推廣。線性空間是在不考慮集合的對象，抽去它們的具體屬性，用公理
化定義的數學結構。在這種結構之下，就可以統一的處理很多數學對象。線性空間
里重要的一個概念就是基、維數與坐標。因為有了基之后，空間、子空間都可以由
其基來表示，無限多的元素即可由有限個元素來表示，使得空間結構清晰明了；有
了坐標的概念 ,可以建立抽象的線性空間與 n
P 的同構關系；另外一個重點內容就是
子空間的和與直和，借助于直和的分解，就可以將整個線性空間的研究歸結為若干
個較為簡單的子空間的研究。
二、考核知識點
1、集合、映射
2、線性空間的定義與簡單性質
3、維數、基與坐標
4、基變換與坐標變換
5、線性子空間
6、子空間的交與和
7、子空間的直和
8、線性空間的同構
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第七章 線性變換
一、章節綜述及學習要求
線性變換反映了線性空間元素之間的一種最基本的聯系，它是線性函數的推廣。
高等代數里主要討論有限維空間上的線性變換及其運算、線性變換的矩陣表示及線
性變換的特征值與特征向量。線性變換與矩陣的特征值特征向量及計算是本章重要
的內容之一。借助于特征值、特征向量使得矩陣的對角化問題也得以完滿解決，簡
化了矩陣方冪計算?；淖兓瘜εc矩陣的對應關系及利用不變子空間討論空間的分
解也是本章的重點內容。
二、考核知識點
1、線性變換的定義
2、線性變換的運算
3、線性變換的矩陣
4、特征值與特征向量
5、對角矩陣
6、線性變換的值域與核
7 不變子空間
8、若當(Jordan)標準形介紹，最小多項式；
第八章 ? -矩陣
一、章節綜述及學習要求
一般直接處理矩陣的相似關系是比較困難。本章引入 ? —矩陣，其目的主要是
將矩陣的相似問題轉化為它們的特征矩陣 E A? ? 與 E B? ? 的等價問題研究，而等價
問題可以使用較為簡便的初等變換來研究。了解 ? —矩陣的不變因子、行列式因子
及初等因子概念。掌握它們的性質、相互之間的關系以及它們的求法；掌握矩陣的
(Jordan)標準形及有理標準形的求法。
二、考核知識點
1、 ? —矩陣
2、 ? —矩陣在初等變換下的標準形
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3、不變因子
4、 矩陣相似的條件
5、初等因子
6、若當(Jordan)標準形的理論推導
第九章 歐幾里得空間
一、章節綜述及學習要求
線性空間雖然是二維、三維幾何空間的推廣，但是幾何空間中向量的度量性質，
諸如長度，夾角，正交等概念，在線性空間中沒有體現。歐式空間正是為了彌補這
一不足而引入。本章通過在實數域上的線性空間內引入內積的概念得到歐式空間，
于是有了向量的長度、夾角、正交等幾何概念，特別在歐式空間中引入標準正交基
的概念之后，使得向量之間的運算大為簡化。要求理解和掌握標準正交基的概念及
其性質，能熟練運用施密特正交化方法改造基為標準正交基。
歐氏空間中的正交變換與對稱變換在標準正交基下對應著正交矩陣及實對稱矩
陣這兩種特殊矩陣，要求掌握正交變換與對稱變換的概念及其性質，對于實對稱矩
陣能熟練的將其正交對角化。線性空間中關于某個子空間的直和分解是不唯一的，
但是在歐氏空間中關于某個子空間的正交補的直和分解是唯一的。要求掌握子空間
的正交補的概念及其基本性質，會求某些子空間的正交補。
二、考核知識點
1、定義與基本性質
2、標準正交基
3、同構
4、正交變換
5、子空間
6、實對稱矩陣的標準形
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