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《高等代數》考試大綱
一、考試的總體要求
高等代數是數學與應用數學專業、信息與計算科學專業和統計學專業的一門重要的基
礎課，通過考試，考察學生對本課程的基本理論、基本方法和基本技能的掌握程度，考察學
生抽象思維、邏輯推理的能力，應用所學知識分析、解決問題的能力，通過各學科綜合平衡，
選拔優秀學生入學深造。
二、考試的內容及考查比例
第一章、多項式（7%）
1．理解數域，多項式，整除，最大公因式，互素，不可約，k 重因式，重因式的概念；了
解多項式環，本原多式，字典排序法，對稱多項式，初等對稱多項式，齊次多項式，多項式
函數等概念。
2．掌握整除的性質，帶余除法定理，最大公因式定理，互素的判別與性質，不可約多項式
的判別與性質，多項式唯一因式分解定理，余式定理，因式定理、代數基本定理，高斯引理，
Eisenstein 判別定理，對稱多項式基本定理。
3．掌握無重因式的充要條件，判別條件，復數域、實數域及有理數域上多項式因式分解理
論，有理多項式的有理根范圍。
4．熟練運用輾轉相除法，綜合除法。
第二章、行列式（5%）
1．了解行列式的概念，理解行列式的子式，余子式及代數余子式的概念。
2．掌握行列式的性質，按行、列展開定理，Gramer 法則，Laplace 定理，行列式乘法公式。
3．熟練運用行列式的性質及展開定理計算行列式，掌握計算行列式的基本方法。
第三章、線性方程組（10%）
1．理解向量線性相關，向量組等價，極大無關組，向量組的秩，矩陣的秩，基礎解系，解
空間等概念。
2．掌握線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構。
3．熟練運用行初等變換求解線性方程組的方法。
第四章、矩陣（15%）
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱陣、反對稱陣的概念及其
性質。
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規律。
3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念，
掌握伴隨矩陣的性質。
4．掌握矩陣的初等變換、掌握初等矩陣的性質，理解矩陣等價的概念，熟練運用初等變換
法求矩陣的秩及逆矩陣。
5．理解分塊矩陣，掌握分塊陣的運算及初等變換。
第五章、二次型（5%）
1．理解二次型的概念及二次型的矩陣表示，了解二次型秩的概念，掌握二次型的標準形、
規范形的概念及慣性定律。
2．掌握用合同變換、正交變換化二次型為標準形的方法。
3．掌握二次型和對應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別法。
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第六章、線性空間（20%）
1．理解線性空間，子空間，生成子空間，基底，維數，坐標，過渡矩陣，子空間的和與直
和等概念。了解線性空間同構的概念。
2．掌握基擴張定理，維數公式，掌握直和的充要條件。
3．熟練運用概念求基底，維數，坐標，過渡矩陣。
第七章、線性變換（18%）
1．理解線性變換，特征值，特征向量，特征多項式，特征子空間，不變子空間，線性變換
的矩陣，相似變換，相似矩陣，線性變換的值域與核，Jardan 標準形，最小多項式等概念。
2．掌握線性變換的性質，相似矩陣的性質，特征值、特征向量的性質，核空間與值域的性
質，不變子空間的性質。掌握 Hamilton-Cayley 定理及將線性空間 V 分解成 A–不變子空間
的條件和方法，了解最小多項式理論。
3．熟練運用線性變換的矩陣表示方法，求線性變換的特征值、特征向量的方法，矩陣可相
似對角化的條件與方法。掌握線性變換與矩陣“互化”的思想方法，會用各種特殊子空間解
決相關問題。
第八章、 ? --矩陣（5%）
1．理解 ? --矩陣的秩，可逆? --矩陣，? --矩陣的初等變換，行列式因子，不變因子，初等
因子等概念，了解 ? --矩陣的標準形。
2．掌握 ? --矩陣可逆的充要條件，? --矩陣等價的充要條件，數字矩陣相似的充要條件，了
解 Jordan 標準形的理論推導。
3．會求 ? --矩陣的標準形及不變因子。會求數字矩陣的 Jodan 標準形。
第九章、歐幾里得空間（15%）
1．掌握內積，歐氏空間，向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標準正交基、正交補、正交
變換、正交陣、對稱變換、同構等概念。
2．掌握 Schmidt 正交化方法。掌握標準正交基的性質，正交變換的性質，正交陣的性質，
對稱變換的性質及標準形。
3．掌握實對稱陣的特征值、特征向量的性質。熟練運用正交相似變換將實對稱陣相似（合
同）對角化。
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