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《數學分析》考試大綱
一、考試的總體要求
本門課程主要考察學生對數學分析基礎知識（包括基本概念、基本理論、
基本運算及方法）、基本思想和方法的掌握程度。要求考生具有抽象思維能力、
邏輯推理能力、運算能力以及運用已掌握的知識分析和解決問題的能力。
二、考試的內容及比例
1、分析基礎(占 15%左右)
(1) 了解實數公理，理解上確界和下確界的概念及確界原理。掌握絕對值
不等式及平均值不等式。
(2) 熟練掌握函數概念。
(3) 掌握數列極限的意義、性質和運算法則，熟練掌握用 N?? 定義證明數
列極限存在的方法。
(4) 掌握函數極限的意義、性質和運算法則， 熟練掌握求函數極限的 ?? ?
方法。
(5) 熟練掌握求數列極限和函數極限的常用方法。
(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高（低）階無窮大（?。?br/>量的意義。
(7) 熟練掌握函數在一點及在一個區間上連續的概念，理解函數兩類間斷
點的意義，掌握初等函數的連續性。理解一致連續和不一致連續的概
念。
(8) 掌握數列收斂的充分必要條件及函數極限（當自變量趨于有限數及趨
于無窮兩種情形）存在的充分必要條件。
2、 一元微分學(占 20%左右)
(1) 掌握導數的概念和幾何意義，了解單側導數的意義，依據定義求函數
在給定點的導數。
(2) 熟練運用求導公式和求導法則計算函數導數（包括用參數式給出的函
數的導數）、
復合函數的導數以及函數的高階導數。
(3) 理解函數微分的概念和函數可微的充分必要條件，了解一階微分形式
不變性，能
用微分作近似計算。
(4) 理解并掌握微分中值定理（Rolle 定理，Lagrange 定理和 Cauchy 中值
定理），
能應用它們解決函數零點存在性及不等式證明等問題。
(5) 熟練掌握應用 L’Hospital 法則求函數極限的方法。
(6) 理 解 Taylor 公 式 的 意 義 ， 并 熟 記 五 個 基 本 公 式
（ )1ln(,)1(,cos,sin xxxxe
x
??
?
， 在 x=0 點的帶有 Peano 余項的 Taylor 公
式），能將給定函數在指定點展成 Taylor 級數，掌握應用 Taylor 公式解
決不等式證明、求函數極限等問題的基本技巧。
(7) 熟練掌握應用導數判斷函數單調性、凹凸性的方法，以及求一元函數
極值和最值的方法。了解函數圖像的畫法。
3、一元積分學(占 20%)
(1) 理解不定積分概念和基本性質，熟記基本積分表，理解并掌握換元法
和分部積分法的意義和方法，能夠利用它們熟練計算不復雜的不定積
分。
(2) 了解可積分函數的意義及其積分法，熟練掌握有理函數、三角函數有
理式及簡單的根式的有理式的積分方法。
(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質及函數在有限區間上可積
的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法。了解變限定積分的性
質，掌握積分中值定理。
(4) 熟練應用定積分計算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉
曲面表面積，并解應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學
問題。
(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對收斂和發散的意義，掌握廣義積分收斂
的判定法則。
4、級數(占 15%左右)
(1) 掌握數項級數收斂、發散和絕對收斂的概念、級數收斂的充分必要條
件（Cauchy 準則），收斂和絕對收斂級數的性質以及級數加法和乘法
的運算法則。
(2) 熟練掌握正項級數斂散判別法（比較判別法、D’Alembert 判別法、
Cauchy 根式判別法以及 Cauchy 積分判別法），掌握一般項級數斂散判
別方法。能計算一些特殊數項級數的和。
(3) 理解函數項級數收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數數列一致收
斂以及函數項級數一致收斂的意義，掌握函數項級數一致收斂的判別
法則（Cauchy 一致收斂準則，Weierstrass 判別法，Abel 判別法，Dirichlet
判別法）及一致收斂級數的性質。
(4) 理解冪級數的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級數的基本性質和運
算法則，熟記五個基本冪級數展開式（ )1ln(,)1(,cos,sin xxxxe
x
??
?
， ）。
能求出給定函數在指定點的冪級數展開式及應用冪級數運算求一些級
數的和。
(5) 理解函數 Fourier 展開式的意義，掌握求 Fourier 展開式的基本方法。
了解Fourier級數的收斂性定理、逐項積分和逐項求導定理以及Parseval
等式，并能應用 Fourier 級數求某些級數的和。
5、多元微分學(占 15%左右)
(1) 理解多元函數的概念。掌握多元函數的極限、累次極限和特殊路徑極
限的意義，并能根據定義計算多元函數極限，或證明二元極限不存在，
能計算多元函數的全面極限和累次極限。
(2) 理解多元連續函數的概念，掌握其性質，并能判斷多元函數的連續性。
了解多元函數的一致連續性。
(3) 理解偏導數的概念，掌握其計算法則，能熟練計算函數的偏導數和復
合函數的導函數，能計算函數在給定方向上的導函數。
(4) 理解多元函數的微分的概念，并能判斷函數的可微性。
(5) 理解隱函數存在定理和反函數存在定理，熟練掌握隱函數的微分法。
(6) 理解 Taylor 公式的意義，并能求出二元函數的具有指定階數的 Taylor
公式。
(7) 能應用偏導數求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面
的方程。
(8) 理解多元函數的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌
握求多元函數極值、條件極值及在閉區域上的最值的方法，并用于解
決實際問題。
6、多元積分學(占 15%左右)
(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質。
(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變
量代換方法（特別，平面極坐標變換，空間柱坐標和球坐標變換），能
熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形面積、柱體體積、曲
面面積及曲面所圍的立體體積。了解 n 重（n>3）積分的計算方法（化
為累次積分及變量代換）。
(3) 了解二重、三重廣義積分的意義（無界域情形和不連續函數情形），掌
握它們的基本判斂法和基本計算方法。
(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質（連續性，積分號下取極限、求
導和求積分），了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性
質（連續性，積分號下取極限、求導及求積分），掌握其一致收斂判別
法，了解? 和? 函數。
(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，
能熟練計算曲線積分。
(6) 理解并掌握 Green 公式的意義，并能應用它計算曲線積分。
(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質、實際背景及二者的聯系，
能熟練計算曲面積分。
(8) 理解并掌握 Gauss 公式和 Stokes 公式的意義，并能用于曲面積分或曲
線積分的計算。了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件及其對
曲線積分計算的應用。
(9) 了解場的概念和保守場的意義，能計算場的梯度、散度和旋度。
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