2018年寧波大學671數學分析考研大綱

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2018年寧波大學碩士研究生招生考試初試科目
考試大綱
科目代碼、名稱: 671數學分析
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分值及考試時間
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應
的位置上。
（三）試卷題型結構
填空題，選擇題，解答題，計算題，證明題，應用題。
二、考試科目簡介
《數學分析》是數學專業最重要的基礎課之一，是數學專業的學生繼續學習后繼課程的基礎，它
的理論方法和內容既涉及到幾百年來分析數學的嚴謹性和邏輯性，又與現代數學的各個領域有著密
切的聯系。是從事數學理論及其應用工作的必備知識。本大綱制定的的依據是①根據教育部頒發《數
學分析》教學大綱的基本要求。②根據我國一些國優教材所講到基本內容和知識點。要求考生比較
系統地理解數學分析的基本概念基本理論，掌握研究分析領域的基本方法，基本上掌握數學分析的
論證方法，具備較熟練的演算技能和初步的應用能力及邏輯推理能力。
三、考試內容及具體要求
第 1 章實數集與函數
（1）了解實數域及性質
（2）掌握幾種主要不等式及應用。
（3）熟練掌握領域，上確界，下確界，確界原理。
（4）牢固掌握函數復合、基本初等涵數、初等函數及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性
等）。
第 2 章數列極限
（1）熟練掌握數列極限的定義。
（2）掌握收斂數列的若干性質（惟一性、保序性等）。
（3）掌握數列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。
第 3 章函數極限
（1）熟練掌握使用“ε -δ ”語言，敘述各類型函數極限。
（2）掌握函數極限的若干性質。
（3）掌握函數極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界）。
（4）熟練應用兩個特殊極限求函數的極限。
（5）牢固掌握無窮小（大）的定義、性質、階的比較。
第 4 章函數連續性
（1）熟練掌握在 X0 點連續的定義及其等價定義。
（2）掌握間斷點定以及分類。
（3）了解在區間上連續的定義，能使用左右極限的方法求極限。
（4）掌握在一點連續性質及在區間上連續性質。
（5）了解初等函數的連續性。
第 5 章導數與微分
（1）熟練掌握導數的定義，幾何、物理意義。
（2）牢固記住求導法則、求導公式。
（3）會求各類的導數（復合、參量、隱函數、冪指函數、高階導數（萊布尼茲公式））。
（4）掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。
（5）深刻理解連續、可導、可微之關系。
第 6 章微分中值定理、不定式極限
（1）牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。
（2）會用洛比達法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉化為 0/0 型）。
第 1-6 章的重點與難點
（1）重點：①基本概念：極限、連續、可導、可微。②基本定理：單調有界，柯西準則，歸結原則，
微分中值定理。③基本計算：求極限的方法與類型。
（2）難點：應用微分中值定理，證明問題，連續函數性質應用。
第 7 章導數應用
（1）掌握單調與符號的關系，并用它證明 f(x)單調，不等式、求單調區間、極值等。
（2）利用判定凹凸性及拐點。
（3）了解凸函數及性質
（4）會求曲線各種類型的漸近線性。
（5）了解方程近似解的牛頓切線法。
第 8 章極限與連續（續）
（1）掌握下列基本概念：區間套、柯西列、聚點、予列。
（2）了解刻劃實數完備性的幾個定理的等階性，并掌握各定理的條件與結論。
（3）學會用上述定理證明其他問題，如連續函數性質定理等。
第 9 章不定積分
（1）掌握原函數與不定積分的概念。
（2）記住基本積分公式。
（3）熟練掌握換元法、分部積分法。
（4）了解有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。
第 10 章定積分
（1）掌握定積分定義、性質。
（2）了解可積條件，可積類。
（3）深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。
（4）熟練計算定積分。
（5）掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。
第 11 章定積分應用
（10 熟練計算各種平面圖形面積。
（2）會求旋轉體或已知截面面積的體積。
（3）會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。
（4）會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。
第 12 章數項級數
（1）掌握數項級數斂散的定義、性質。
（2）熟練掌握正項級數的斂、散判別法。
（3）掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。
第 7-12 章的重點、難點
（1）重點：導數的應用，積分法則，微積分基本定理，數項級數斂散判別，廣義積分斂散判別。
（2）難點：實數完備性定理及應用；定積分的可積性及可積極類的討論，定積分及數項級數的理論
證明，廣義積分及數項級數斂散的阿貝爾，狄利克雷判別法。
第 13 章函數列與函數項級數
（1）了解函數列與函數項級之間的關系，掌握函數列及函數項級數的一致收斂定義。
（2）掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。
（3）函數列的極限函數，函數項級數的和函數性質。
第 14 章冪級數
（1）熟練冪級數收斂域，收斂半徑，及和函數的求法。
（2）了解冪級數的若干性質。
（3）了解求一般任意階可微函數的冪級數展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數的馬克勞林
展式。
（4）會利用間接法求一些初等函數的冪級數展式。
第 15 章付里葉級數
（1）熟記付里葉系數公式，并會求之。
（2）掌握以 2π 為周期函數的付里葉展式。
（3）理解掌握定義在（0,1）上的函數可以展成余弦級數，正弦級數，一般付里葉級數。
（4）了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。
第 16 章多元函數極限與選擇
（1）了解平面點集的若干概念。
（2）掌握二元函數二重極限定義、性質。
（3）掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。
（4）掌握二元連續函數的定義、性質。
（5）了解二元函數關于兩個變量全體連續與分別連續的關系。
第 17 章多元函數微分學
（1）熟練掌握，可微，偏導的意義。
（2）掌握二元函數可微，偏導，連續以及偏導函數連續，概念之間關系。
（3）會計算各種類型的偏導，全微分。
（4）會求空間曲面的切平面，法線。空間曲線的法平面與切線。
（5）會求函數的方向導數與梯度。
（6）會求二元函數的泰勒展式及無條件極值。
第 18 章隱函數定理及其應用
（1）掌握由一個方程確定的隱函數的條件，隱函數性質，隱函數的導數（偏導）公式。
（2）掌握由 m 個方程 n 個變元組成方程組，確定 n-m 個隱函數組的條件，并會求這 n-m 個隱函數對
各個變元的偏導數。
（3）會求空間曲線的切線與法平面。
（4）會求空間曲面的切平面與法線。
（5）掌握條件極值的拉格朗日數乘法。
第 19 章向量函數微分（一般了解）
第 13-19 章重點、難點
（1）重點：函數列、函數項級數一致收斂的判別，求冪級數的收斂域，和函數及其性質，冪級數展
式，多元函數極限，連續、偏導、可微概念。計算部分：求各類偏導，全微分，求方向導數與梯度，
求方程（組）確定隱函數（組）的偏導。應用部分；無條件極值，條件極值，曲線的切線與法平向，
曲面的切平面與法線。
（2）難點：函數列與函數項級數一致收斂判別及性質，條件極值。
第 20 章重積分
（1）了解二重積分，三重積分定義與性質。
（2）掌握二重積分的換序，變量代換的方法。
（3）了解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分。
（4）含參量正常積分的定義及性質。
（5）重積分應用：求曲面面積，轉動慣量，重心坐標等。
第 21 章含參量非正常積分
（1）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質。
（2）掌握含參量非正常積分一致收斂判別。
（3）會用積分號下求導、積分號下做積分方法計算一些定積分或廣義積分。
（4）了解歐拉積分，遞推公式及性質。
第 22 章曲線積分與曲面積分
（1）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法。
（2）了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關系。
（3）熟練運用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計算。
（4）掌握積分與路徑無關的條件。
（5）了解場論初步知識，并會求梯度，散度，旋度。
第 20-22 章的重點和難點
（1）重點：二重積分換序，計算方法；曲線，曲面積分的計算。格林公式，高斯公式，斯托克斯公
式的應用，積分與路徑無關性質的應用。
（2）難點：含參量廣義積分的一致收斂判別，三重積分的換序，重積分的應用。

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