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南京信息工程大學博士研究生招生入學考試
《數理方程》考試大綱
考試科目代碼：3017
考試科目名稱：數理方程
一、緒論
1．理解和掌握偏微分方程的基本概念；
2．了解三類典型方程的導出；
3．理解偏微分方程定解問題的提法和適定性問題；
4．理解和掌握線性定解問題的疊加原理；
5．理解和掌握二階線性偏微分方程的分類和化簡。
二、波動方程的初值問題與行波法
1．理解和掌握一維波動方程的初值問題解的 D’Alembert 公式，了解其物理意義；
2．理解和掌握三維波動方程的初值問題解的 Poisson 公式，了解其物理意義；
3．理解二維波動方程的初值問題和降維法；
4．了解依賴區域、決定區域、影響區域和特征維。
三、分離變量法
1．理解和掌握齊次方程和齊次邊界條件的定解問題；
2．理解和掌握非齊次方程的定解問題；
3．理解和掌握非齊次邊界條件的處理；
4．了解 Sturm-Loiuville 問題。
四、調和方程與格林（Green）函數法
1．理解 Laplance 方程定解問題的提法；
2．理解和掌握 Green 公式和應用；
3．理解 Green 函數的性質；
4．理解和掌握一些特殊區域上的 Green 函數和 Dirichlet 問題的解法。
五、積分變換法
1．理解傅里葉積分和傅里葉變換，掌握一些基本函數的傅里葉變換；
2．理解和掌握傅里葉變換的性質；
3．理解和掌握運用傅里葉變換來求解定解問題；
4．理解拉普拉斯變換與性質；
5．理解和掌握運用拉普拉斯變換求解定解問題。
六、極值原理和應用
1．理解和掌握熱傳導方程的極值原理，能夠應用熱傳導方程的極值原理來證明定解問
題解的適定性；
2．理解和掌握拉普拉斯方程的極值原理，能夠應用拉普拉斯方程的極值原理來證明定
解問題解的適定性；
七、能量積分方法和應用
1．理解和掌握熱傳導方程和調和方程中的能量方法；
2．理解和掌握雙曲方程中的能量方法；
3. 運用能量方法探討初值問題解的唯一性和穩定性。
有關說明與實施要求
1、考試目標的能力層次的表述
本課程對各考核點的能力要求一般分為三個層次用相關詞語描述：
較低要求——了解；
一般要求——理解、熟悉、會；
較高要求——掌握、應用。
一般來說，對概念、原理、理論知識等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等詞表述；
對計算方法、應用方面，可用“會”、“應用”、“掌握”等詞。
2、命題考試的若干規定
(1)本課程的命題考試是根據本大綱規定的考試內容來確定的，根據本大綱規定的各種
比例(每種比例規定可有 3 分以內的浮動幅度，來組配試卷，適當掌握試題的內容、覆
蓋面、能力層次和難易度)。
(2)各章考題所占分數大致如下：
第一章 15％
第二章 15％
第三章 15％
第四章 15％
第五章 15％
第六章 10％
第七章 15％
(3)其難易度分為易、較易、較難、難四級，每份試卷中四種難易度，試題分數比例一
般為 2：3：3：2。
(4)試卷中對不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“了解(知識”占 15%，“理解(熟
悉、能、會)”占 40%，“掌握(應用)”占 45%。
(5)試題主要題型為解答題和證明題等多種題型。
(6)考試方式為閉卷筆試。考試時間為 180 分鐘，試題主要測驗考生對本學科的基礎理
論、基本知識和基本技能掌握的程度，以及運用所學理論分析、解決問題的能力。試題
要有一定的區分度，難易程度要適當。一般應使本學科、專業本科畢業的優秀考生能取
得及格以上成績。
(7)題型舉例
●解答題
求解下列定解問題;
2
, 0
( , 0) sin , ( , 0)
tt xx
t
u a u x t
u x x u x x x
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?
? ? ?? ? ? ??
● 證明題
證明齊次化原理,即設 1
( , )f x t C? ,如果 ( , , )h h x t ?? 是初值問題
2 2
2
2 2
,
| 0, | ( , )t t
h h
a x t
t x
h
h f x x
t
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? ?? ? ? ? ??? ? ?
?
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的解,那么由積分
0
( , ) ( , , )
t
w x t h x t d? ?? ?
所定義的函數是下列問題
2 2
2
2 2
( , ) , 0
( ,0) ( ,0) 0t
w w
a f x t x t
t x
w x w x x
? ? ?
? ? ?? ? ? ? ??
? ??
? ? ? ?? ? ? ??
的解.
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