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南京信息工程大學博士研究生招生入學考試
《矩陣分析》考試大綱
考試科目代碼：2008
考試科目名稱：矩陣分析
第一章 線性空間和線性映射
1、理解基變換與坐標變換；
2、掌握線性子空間交，和，直和，補的計算方法，及不變子空間的求法；
3、理解特征值與特征向量；
4、掌握矩陣的相似對角形的求解方法
第二章 矩陣對角化與矩陣的 Jordan 標準形
1、理解矩陣對角化并能求取矩陣的標準形；
2、了解初等因子與相似條件；
3、掌握矩陣的 Jordan 標準形的求解方法
第三章 內積空間，正規矩陣，Hermite 矩陣
1、 熟悉內積空間，酉空間及酉變換和正交變換；
2、 理解冪等矩陣的性質和正交投影原理；
3、掌握正規矩陣、Hermite 矩陣的求解方法；
4、理解 Hermitee 二次齊式、正定二次齊式、正定 Hermite 矩陣；
第四章 矩陣分解
1、理解矩陣的滿秩分解方法；
2、掌握矩陣的正交三角分解（UR，QR 分解）方法；
3、熟悉矩陣的奇異值分解方法；
4、了解矩陣的極分解方法、譜分解方法；
第五章 向量與矩陣范數
1、熟悉向量范數、矩陣范數、向量/矩陣范數之間的不等式關系、誘導范數、
賦范線性空間的定義與性質；
2、熟悉矩陣序列，會應用矩陣序列的極限；
第六章 矩陣函數
1、了解矩陣多項式的定義，會求解矩陣多項式最小多項式；
2、了解矩陣函數，掌握矩陣函數計算方法；
3、了解矩陣函數的冪級數表示；
4、熟悉矩陣指數函數與矩陣三角函數；
第七章 函數矩陣與矩陣微分方程
1、了解函數矩陣的定義；
2、掌握函數矩陣對純量的導數與積分；
3、掌握函數向量的線性相關性的證明；
4、熟悉矩陣微分方程的定義及求解方法 ；
第八章 矩陣的廣義逆
1、理解廣義逆矩陣的定義；自反廣義逆的定義；
2、掌握偽逆矩陣的求解方法；
有關說明與實施要求
1、考試目標的能力層次的表述
本課程對各考核點的能力要求一般分為三個層次用相關詞語描述：
較低要求——了解；
一般要求——理解、熟悉、會；
較高要求——掌握、應用。
一般來說，對概念、原理、理論知識等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等
詞表述；對計算方法、應用方面，可用“會”、“應用”、“掌握”等詞。
2、命題考試的若干規定
(1)本課程的命題考試是根據本大綱規定的考試內容來確定的，根據本大綱規定
的各種比例(每種比例規定可有 3 分以內的浮動幅度，來組配試卷，適當掌握試
題的內容、覆蓋面、能力層次和難易度)。
(2)各章考題所占分數大致如下：
第一章 10％
第二章 10％
第三章 15％
第四章 15％
第五章 15％
第六章 10％
第七章 15％
第八章 10％
(3)其難易度分為易、較易、較難、難四級，每份試卷中四種難易度，試題分數
比例一般為 2：3：3：2。
(4)試卷中對不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“了解(知識”占 15%，
“理解(熟悉、能、會)”占 40%，“掌握(應用)”占 45%。
(5)試題主要題型為解答題和證明題等多種題型。
(6)考試方式為閉卷筆試。考試時間為 180 分鐘，試題主要測驗考生對本學科的
基礎理論、基本知識和基本技能掌握的程度，以及運用所學理論分析、解決問題
的能力。試題要有一定的區分度，難易程度要適當。一般應使本學科、專業本科
畢業的優秀考生能取得及格以上成績。
（7）樣題舉例
矩陣 的奇異值分解
解 第一步計算 ， 是將 化為對角矩陣的正交矩陣，
，
，得 ，通過計算可得到屬于 4 的
特征向量 ，屬于 0 的特征向量 ，即
第二步計算 ，由于 ，得 ，故
第三步計算
將 擴展為 的一組標準正交基
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