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《高等代數》考試大綱
一、總體要求
高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工
科專業
學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、
矩陣及其標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數。要求考
生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的
基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算
能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試知識點及考核要求
（一）多項式
考試內容
數域 有理數域 實數域 復數域等概念 一元多項式的概念及其計算
多項式的整除因式 公因式 最大公因式 互素 用輾轉相除法求最大
公因式 不可約多項式 可約多項式 因式分解及唯一性定理 多項式
的導數 重因式 單因式 根 重根 單根 多項式有重因式的判別方法
代數學基本定理 實數域、復數域上多項式因式分解定理 求有理系數
多項式的全部有理根
考試要求
1.了解數域、有理數域、實數域、復數域等概念。
2.了解一元多項式的概念及其計算。
3.了解多項式的整除、因式、公因式、最大公因式、互素的概念。
4.會用輾轉相除法求最大公因式。
5.了解不可約多項式、可約多項式的概念，掌握因式分解及唯一性定
理。
6.了解多項式的導數、重因式、單因式、根、重根、單根等概念，掌
握多項式有重因式的判別方法，掌握代數學基本定理。掌握實數域、
復數域上多項式因式分解定理。
7.會求有理系數多項式的全部有理根。
（二） 行列式
考試內容
n 階行列式的定義 行列式的性質 行列式的計算 拉普拉斯定理 克萊
姆法則
考試要求
1.了解 n 階行列式的定義。
2.掌握理解行列式的性質，掌握行列式計算，會利用行列式的性質計
算較復雜的 n 階行列式。
3.了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。
4.掌握克萊姆法則。
（三） 線性方程組
考試內容
n 維向量的定義 向量的數乘和加法運算 向量組的線性組合 線性表
示 線性相關 線性無關 等價 極大無關組向量組的秩 矩陣的秩 線
性方程組的消元法 齊次線性方程組有非零解的充要條件 非齊次線
性方程組有解的充要條件 齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空
間的概念 用行初等變換求線性方程組通解的方法
考試要求
1.理解 n 維向量的定義，掌握向量的數乘和加法運算。
2.理解向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關、等價、
極大無關組、秩的概念。掌握與此相應的重要結論。
3.理解矩陣的秩的概念并掌握相關結論。
4.掌握求向量組的極大無關組、秩的方法。
5.理解線性方程組的消元法原理。理解齊次線性方程組有非零解的充
要條件，理解非齊次線性方程組有解的充要條件。
6.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念。
7.掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。
（四） 矩陣
考試內容
矩陣的概念 矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律 伴隨
矩陣 逆矩陣 矩陣可逆的充要條件 矩陣的初等變換 矩陣等價 初等
矩陣 用初等變換
求逆陣 矩陣分塊概念 矩陣分塊運算。
考試要求
1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運
算規律。
2.理解矩陣的概念，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨求矩陣。掌握逆
矩陣的性質，掌握矩陣可逆的充要條件。
3.理解矩陣的初等變換和矩陣等價的概念，了解初等矩陣的性質。掌
握用初等變換求逆陣的方法。
4.掌握矩陣乘積、和的秩的有關結論。
5.了解矩陣分塊概念、掌握矩陣分塊運算。
（五） 二次型
考試內容
二次型概念 二次型的矩陣表示方法 二次型的標準型、規范型 用配
方法求二次型的標準型 用初變換方法求二次型的標準型 實二次型
慣性定理 理解正慣性指數、負慣性指數、符號差 實二次型分類概念
各類二次型（正定、負定、半正定、半負定、不定）的判別方法
考試要求
1.理解二次型概念，掌握二次型的矩陣表示方法。
2.理解二次型的標準型、規范型的概念，會用配方法求二次型的標準
型，掌握用初等變換方法求二次型的標準型。
3.理解實二次型慣性定理，理解正慣性指數、負慣性指數、符號差等
概念。
4. 掌握實二次型分類概念。掌握各類二次型（正定、負定、半正定、
半負定、不定）的判別方法。
（六） 線性空間
考試內容
向量空間的概念 線性空間的維數、基、坐標 基變換、坐標變換的公
式 過渡矩陣 線性子空間 子空間的交與和 維數公式 子空間直和
判別直和的條件 商空間 空間、子空間、商空間三者維數之間的聯系
線性空間同態與同構 有限維線性空間同構的充分必要條件 線性空
間的同態基本定理
考試要求
1.理解向量空間的概念，理解線性空間的維數、基、坐標的概念。
2.掌握基變換、坐標變換的公式，會求過渡陣。
3.理解線性子空間、子空間的交與和的概念，掌握維數公式，掌握判
別子空間的方法，會求子空間交的基、和的基。
4.了解子空間直和的概念，掌握判別直和的條件。
5.了解商空間的概念，會求商空間的基。掌握空間、子空間、商空間
三者維數之間的聯系。
6.了解線性空間同態與同構的概念，掌握有限維線性空間同構的充分
必要條件，掌握線性空間的同態基本定理。
（七） 線性變換
考試內容
線性變換的定義 線性變換運算 線性變換的矩陣 特征值 特征向量
特征子空間 特征多項式 Hamilton-Caylay 定理 線性變換在某組基
下矩陣是對角矩陣的充分必要條件 矩陣與對角矩陣相似的充分必要
條件 線性變換的核與值域 線性變換的秩與零度 不變子空間 復數
域上線性空間的根子空間直和分解定理
考試要求
1.理解線性變換的定義、運算及其矩陣表示。
2.理解特征值、特征向量、特征子空間、特征多項式等概念，掌握求
線性變換、矩陣的特征值、特征向量的方法、掌握 Hamilton-Caylay
定理。
3.掌握線性變換在某組基下矩陣是對角矩陣的充分必要條件，掌握一
個矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件。
4.若矩陣 A 與對角陣相似，會求可逆矩陣 P，化 A 為對角矩陣。
5.理解線性拌和的核與值域的概念，掌握線性變換的秩與零度之和等
于線性空間維數的公式，會求值域與核。
6.理解不變子空間的概念，了解線性變換的矩陣化簡和不變子空間的
內在聯系，掌握復數域上線性空間的根子空間值和分解定理。
（八） 歐氏空間
考試內容
歐氏空間的定義及其簡單性質 標準正交基的概念 用 Schmidt 方法求
標準正交基 子空間的正交以及正交補 正交變換 判別線性變換是正
交變換的方法及其充要條件 正交矩陣正交變換與正交矩陣的聯系
對稱變換 對稱變換與對稱矩陣的聯系 化對稱矩陣為對角陣的方法
正交變換法化實二次型為標準型 酉空間概念及其性質
考試要求
1.理解歐氏空間的定義及其簡單性質。
2.理解標準正交基的概念，會用 Schmidt 方法求標準正交基。
3.理解子空間的正交以及正交補的概念。
4.理解正交變換的概念，掌握判別線性變換是正交變換的方法及其充
要條件，理解正交變換與正交陣的聯系。
5.了解 QR 分解及其唯一性問題。
6.掌握對稱變換的概念，了解對稱變換與對稱矩陣聯系，掌握化對稱
矩陣為對角陣的方法。會用求特征值方法化實二次型為標準型。
7.了解酉空間概念及其性質。
三、考試題型及比例
計算題： 50%左右；證明題： 50%左右。
四、考試形式及時間
考試形式為閉卷筆試，試卷總分值為 150 分，考試時間為三小時。
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