|
|
|
|
友情提示：本站提供全國400多所高等院校招收碩士、博士研究生入學考試歷年考研真題、考博真題、答案，部分學校更新至2012年，2013年；均提供收費下載。 下載流程： 考研真題 點擊“考研試卷””下載; 考博真題 點擊“考博試卷庫” 下載
2018 年遼寧師范大學數學學院研究生
考試大綱
《數學分析》考試大綱（專業學位）
注意：本大綱為參考性考試大綱，是考生需要掌握的基本內容。
第一章實數集與函數
一．考核知識點
1.實數集的性質
2．確界定義和確界原理
3．函數的概念及表示法，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數
二．考核要求
(一) 實數集的性質
1．熟練掌握：（1）實數及其性質；（2）絕對值與不等式。
2．深刻理解：（1）實數有序性，大小關系的傳遞性，稠密性，阿基米德
性，實數集對四則運算的封閉性以及實數集與數軸上的點的一一對應關系；（2）
絕對值的定義及性質。
3．簡單應用：（1）會比較實數的大小，能在數軸上表示不等式的解；（2）
會利用絕對值的性質證明簡單的不等式。
4．綜合應用：會利用實數的性質和絕對值的性質證明有關的不等式，會解
簡單的不等式。
（二）確界定義和確界原理
1．熟練掌握：（1）區間與鄰域；（2）有界集、無界集與確界原理。
2．深刻理解：（1）區間與鄰域的定義及表示法；（2）確界的定義及確界
原理。
3．簡單應用：會用區間表示不等式的解，會證明數集的的有界性，會求數
集的上、下確界。
4．綜合應用：會用確界的定義證明某個實數是某數集的上確界（或下確界），
會證明某數集無界。
（三）函數的概念
1．熟練掌握：（1）函數的定義；（2）函數的表示法；（3）函數的四則
運算；（4）復合函數；（5）反函數；（6）初等函數。
2．深刻理解：（1）函數概念的兩個要素；（2）絕對值函數,取整函數，
符號函數，狄利克雷和黎曼函數；（3）函數能夠進行四則運算的條件；（4）復
合函數中內函數的值域與外函數的定義域的關系；（5）反函數存在的條件。
3．簡單應用：會求函數的定義域、值域，會比較幾個函數的大小，會求分
段函數和復合函數的表達式，能熟練地描繪六類基本初等函數的圖象。
4．綜合應用：會作簡單的復合函數的圖象，會求函數的反函數，并證明有
關的不等式，會建立簡單應用問題的函數關系。
（四）具有某些特性的函數
1．熟練掌握：（1）有界函數；（2）單調函數；（3）奇函數和偶函數；
（4）周期函數。
2．深刻理解：（1）有界函數和無界函數的定義；（2）單調函數的定義及
其圖象的性質；（3）奇函數和偶函數的定義及其圖象的性質；（4）周期函數的
定義及其圖象的性質。。
3．簡單應用：（1）會求函數的上下界，判斷無界函數；（2）會判斷函數
的單調性；（3）會判斷周期函數；（4）會判斷函數的奇偶性。
4．綜合應用：能利用函數的各種特性解決簡單的應用問題。
第二章數列極限
一．考核知識點
1．數列極限的定義
2．收斂數列的性質
3．數列極限存在的條件
二．考核要求
(一) 數列極限的定義
1．熟練掌握：數列的斂散性概念，數列極限的“ N?? ”定義，數列極限
的幾何意義。
2．深刻理解：數列極限的“ N?? ” 定義的邏輯結構，深刻理解? 的任意
性， N 的相應性；用“ N?? ” 定義證明數列的極限的表述方法； “ N?? ”
定義的否定說法。
3．簡單應用：能夠通過觀察法初步判斷數列的斂散性。
4．綜合應用：會用“ N?? ” 語言證明數列的極限存在。
(二) 收斂數列的性質
1．熟練掌握：收斂數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫
斂性，數列極限的四則運算法則，數列子列的概念。
2．深刻理解：收斂數列諸性質的證明。
3．簡單應用：運用收斂數列的四則運算法則計算數列的極限。
4．綜合應用：運用數列極限的唯一性，收斂數列的有界性、保號性，數列
極限的迫斂性等證明數列的各種性質，判斷發散數列。
(三) 數列極限存在的條件
1．熟練掌握：（1）單調有界原理；（2）柯西收斂準則。
2．深刻理解：單調有界原理和柯西收斂準則的實質及其否定命題。
3．簡單應用：會用單調有界原理證明某些極限的存在性。
4．綜合應用：會用單調有界原理和柯西收斂準則證明某些極限問題，會用
柯西收斂準則的否定命題證明數列發散。
第三章函數極限
一．考核知識點
1．函數極限的定義
2．函數極限的性質
3．函數極限存在的條件
4．兩個重要的極限
5．無窮大量與無窮小量
二．考核要求
(一) 函數極限的定義
1．熟練掌握：（1） ??x 時函數極限的定義；（2） 0
xx ? 時函數極限的
定義。
2．深刻理解：
（1） Axf
x
?
??
)(lim 的 “ M?? ” 定義的邏輯結構，深刻理解? 的任意性，
M 的相應性；用“ M?? ” 定義證明函數極限的表述方法； “ M?? ” 定義
的否定說法。（2） Axf
xx
?
?
)(lim
0
的 “ε -δ ” 定義的邏輯結構，深刻理解? 的
任意性， δ 的相應性；用“ε -δ ” 定義證明函數極限的表述方法； 單側極限
和極限 Axf
xx
?
?
)(lim
0
存在的充要條件；“ε -δ ” 定義的否定說法。
3．簡單應用：會用 Axf
x
?
??
)(lim 的“ M?? ”定義 和 Axf
xx
?
?
)(lim
0
的“ε -δ ”
定義證明簡單函數的極限。
4．綜合應用：會用函數極限定義等分析語言證明一般的函數極限問題；用
極限存在的充要條件證明極限不存在。
（二）函數極限的性質
1．熟練掌握：函數極限的唯一性，局部有界性、局部保號性、保不等式性，
函數極限的迫斂性，函數極限的四則運算法則。
2．深刻理解：函數極限諸性質的證明。
3．簡單應用：能運用函數極限的四則運算法則計算函數的極限。
4．綜合應用：能運用函數極限的唯一性，局部有界性、局部保號性，函數
極限的迫斂性等證明函數的各種性質。
(三) 函數極限存在的條件
1．熟練掌握：（1）歸結原則；（2）柯西收斂準則。
2．深刻理解：歸結原則和柯西收斂的實質。
3．簡單應用：會用歸結原則證明函數的極限不存在，用柯西收斂準則證明
函數極限存在。
4．綜合應用：能用柯西收斂準則的否定命題證明函數極限不存在。
(四) 兩個重要的極限
1．熟練掌握： e
xx
x
x
xx
??
?
?
?
?
?
??
???
1
1lim,1
sin
lim
0
。
2．深刻理解：兩個重要極限的證明。
3．簡單應用：會利用兩個重要極限求函數的極限。
4．綜合應用：能綜合用利用歸結原則和兩個重要極限求解極限問題。
(五) 無窮小量與無窮大量
1．熟練掌握：無窮小量，無窮大量。
2．深刻理解：無窮小量和無窮大量的性質和關系，無窮小量階的比較。
3．簡單應用：會用無窮小量和無窮大量求極限。
4．綜合應用：會用等價無窮小求極限，求曲線的漸近線。
第四章函數的連續性
一．考核知識點
1．連續性概念
2．連續函數的性質
3．初等函數的連續性
二．考核要求
(一) 連續性概念
1．熟練掌握：函數在一點的連續性，區間上的連續函數，間斷點及其分類。
2．深刻理解：函數在一點左、右連續的概念，函數在一點的連續的充要條
件。
3．簡單應用：會用定義證明函數在一點連續。
4．綜合應用：能利用函數在一點的連續的充要條件證明函數在一點連續。
(二) 連續函數的性質
1．熟練掌握：連續函數的局部性質，閉區間上連續函數的基本性質，反函
數的連續性，復合函數的連續性。
2．深刻理解：一致連續性。
3．簡單應用：能用連續性求極限。
4．綜合應用：會證明函數的一致連續性，能利用閉區間上連續函數的基本
性質論證某些問題。
(三) 初等函數的連續性
1．熟練掌握：基本初等函數的連續性。
2．深刻理解：初等函數在其定義的區間內連續。
3．簡單應用：會證明基本初等函數在定義域內連續，能判斷初等函數間斷
點的類型。
4．綜合應用：會證明一般初等函數在定義域內連續，判斷分段函數間斷點
的類型。
第五章導數與微分
一．考核知識點
1．導數的概念
2．求導法則
3．參變量函數的導數
4．高階導數
5．微分
二．考核要求
(一) 導數的概念
1．熟練掌握：導數的定義，導函數的概念。
2．深刻理解：函數在一點的變化率，左、右導數，導數的幾何意義，導函
數的介值性，函數可導與連續的關系。
3．簡單應用：會求函數的平均變化率，會求曲線的切線與法線。
4．綜合應用：會求分段函數的導數，能運用導數概念證明曲線的某些幾何
性質。
（二）求導法則
1．熟練掌握并深刻理解：導數的四則運算，反函數的導數，復合導數的導
數，基本求導法則與公式。
2．簡單應用：會用各種求導法則計算初等函數的導數。
3．綜合應用：能綜合運用各種求導法則計算函數的導數。
(三)參變量函數的導數
1．熟練掌握：參變量函數的導數的定義。
2．深刻理解：參變量函數的導數的幾何意義。
3．簡單應用：會求參變量函數所確定函數的導數。
4．綜合應用：能利用參變量函數的導數證明曲線的某些幾何性質。
(四)高階導數
1．熟練掌握：高階導數的定義。
2．深刻理解：高階導函數的概念。
3．簡單應用：會計算函數的高階導數。
4．綜合應用：能利用萊布尼茨公式計算高階導數，計算參變量函數的高階
導數。
(五)微分
1．熟練掌握：微分概念。
2．深刻理解：微分的幾何意義，導數與微分的關系，一階微分形式的不變
性。
3．簡單應用：會求函數的微分。
第六章 微分中值定理及其應用
一．考核知識點
1．拉格朗日定理和函數單調性
2．柯西中值定理和不定式極限
3．泰勒公式
4．函數的極值與最值
5．函數的凸性與拐點，函數圖象的討論
二．考核要求
(一) 拉格朗日定理和函數單調性
1．熟練掌握：羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，函數單調性。
2．深刻理解：羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的條件與結論、證明方法，
它們的幾何意義。
3．簡單應用：會判斷函數是否滿足羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會
求簡單函數的中值點。
4．綜合應用：會用拉格朗日中值定理證明函數的單調性，利用拉格朗日中
值定理和函數的單調性，證明某些恒等式和不等式。
(二)柯西中值定理和不定式極限
1．熟練掌握：柯西中值定理, 不定式極限的計算方法。
2．深刻理解：柯西中值定理的證明方法，求不定式極限的方法。
3．簡單應用：會求不定式的極限。
4．綜合應用：能用柯西中值定理證明某些帶中值的等式。
(三)泰勒公式
1．熟練掌握：泰勒定理，泰勒公式，麥克勞林公式。
2．深刻理解：泰勒定理的實質，泰勒公式與拉格朗日中值定理的關系。
3．簡單應用：會利用泰勒定理展開六種函數的麥克勞林公式，余項估計。
4．綜合應用：能利用泰勒公式和等價無窮小變換計算極限。
(四)函數的極值與最大〔小〕值
1．熟練掌握：函數的極值與最大〔小〕值，取極值的必要條件，駐點。
2．深刻理解：判斷極值的兩個充分條件。
3．簡單應用：會求函數極值與最大〔小〕值。
4．綜合應用：會證明某些不等式，解決求最大〔小〕值的應用問題。
(五)函數的凸性與拐點，函數圖象的討論
1．熟練掌握：函數圖象的凸性與拐點，函數圖象的性態。
2．深刻理解：凸函數，函數為凸函數的充要條件，曲線的漸近線。
3．簡單應用：會判斷函數圖象的凸性與拐點，會求曲線的漸近線，能描繪
簡單函數的圖象。
4．綜合應用：能利用函數的凸性證明不等式。
第七章實數的完備性
一．考核知識點
1. 關于實數集完備性的基本定理
2．閉區間上連續函數性質的證明
二．考核要求
(一)關于實數集完備性的基本定理
1．熟練掌握：實數集完備性的意義，實數集完備性的幾個基本定理。
2．深刻理解：確界原理、柯西收斂準則、區間套定理、聚點定理、致密性
定理、有限覆蓋定理的條件和結論，及其證明方法，理解有理數集不滿足完備性
定理的原因
3．應用：會求數集的聚點、確界。會用區間套定理解決簡單的存在性問題。
(二)閉區間上連續函數性質的證明
1．熟練掌握：閉區間上連續函數的有界性，有最大、最小值存在性，介值
性和一致連續性。
2．深刻理解：閉區間上連續函數性質的證明思路和方法。
第八章不定積分
一．考核知識點
1．不定積分概念與基本積分公式
2．換元積分法與分部積分法
3．有理函數和可化為有理函數的不定積分
二．考核要求
(一)不定積分概念與基本積分公式
1．熟練掌握：原函數、不定積分及二者的區別，基本積分表。
2．深刻理解：原函數與導數的關系，不定積分的基本性質，不定積分的幾
何意義。
3．簡單應用：會求簡單初等函數的不定積分。
4．綜合應用：能根據不定積分的幾何意義求曲線方程。
(二)換元積分法與分部積分法
1．熟練掌握：換元積分法，分部積分法。
2．深刻理解：換元積分法與復合函數求導法則的關系，分部積分法與乘積
求導法的關系。
3．簡單應用：會用換元積分法與分部積分法計算簡單函數的不定積分。
4．綜合應用：能綜合運用換元積分法與分部積分法計算某些函數的不定積
分，證明某些遞推公式。
(三)有理函數和可化為有理函數的不定積分
1．熟練掌握：有理函數、三角函數有理式和某些無理函數的不定積分。
2．深刻理解：以上各種不定積分的計算步驟。
3．應用：會算簡單的有理函數、三角函數有理式和某些無理函數的不定積
分。
第九章定積分
一．考核知識點
1．定積分概念和性質
2．可積條件
3．微積分學基本定理·定積分的計算
二．考核要求
(一)定積分概念和性質
1．熟練掌握：定積分的實際背景，黎曼積分和，定積分的性質。
2．深刻理解：構造積分和的方法，定積分及其性質的幾何意義。
3．簡單應用：會用定積分定義計算簡單函數的定積分，利用定積分的性質
比較積分的大小，估計積分值。
4．綜合應用：能用定積分定義計算某些復雜和式的極限，利用定積分的性
質證明不等式，論證函數的某些性質。
(二) 可積條件
1．一般掌握和理解：可積的必要條件和充分條件，可積函數類。
2．簡單應用：會判斷函數的可積性。
(三)微積分學基本定理和定積分的計算
1．熟練掌握：變上限定積分所確定的函數及其性質，微積分學基本定理。
2．深刻理解：微積分學基本定理的實質，原函數的存在性。
3．應用：用牛頓——萊布尼茨公式計算定積分，用換元積分法與分部積分
法計算定積分。
第十章定積分的應用
一．考核知識點：平面圖形的面積,由平行截面面積求體積,平面曲線的弧
長與曲率,旋轉曲面的面積
二．考核要求
1．熟練掌握： 用定積分表達和計算一些幾何量。
2．深刻理解：定積分的應用的實質—微元法。
3．應用：會計算平面圖形的面積,由平行截面面積求體積,平面曲線的弧長,
旋轉曲面的面積。
第十一章數項級數
一．考核知識點
1．級數的收斂性
2．正項級數和一般項級數
二．考核要求
(一)級數的收斂性
1．熟練掌握：數項級數的定義。
2．深刻理解：級數收斂、發散的概念,收斂級數的性質，級數收斂的柯西
準則。
3．簡單應用：會判斷級數的收斂和發散。
4．綜合應用：能應用柯西準則討論級數的斂散性。
(二) 正項級數
1．熟練掌握：正項級數收斂的必要條件，正項級數的比較原則。
2．深刻理解：正項級數收斂比式判別法，根式判別法和積分判別法。
3．簡單應用：會判別正項級數的收斂性。
4．綜合應用：能運用正項級數收斂的必要條件，比較原則和幾個判別法等
論證一些問題。
（三）一般項級數
1．熟練掌握：交錯級數的概念，條件收斂與絕對收斂的概念及關系，萊布
尼茨判別法。
2．深刻理解：絕對收斂級數的性質，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。
3．簡單應用：會判別一般項級數的收斂性。
4．綜合應用：能進行絕對收斂級數的乘積運算。
第十二章函數列與函數項級數
一．考核知識點
1．一致收斂性
2．一致收斂函數列與函數項級數的性質
二．考核要求
(一)一致收斂性
1．熟練掌握：函數列與函數項級數的一致收斂性的定義，一致收斂的充要
條件。
2．深刻理解：一致收斂定義的否定敘述，一致收斂的柯西準則，函數列與
函數項級數一致收斂性的判別法
3．應用：會用一致收斂性的定義或判別法判別函數列的一致收斂性，用優
級數判別法，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法判別一些函數級數的一致收斂性。
(二)一致收斂函數列與函數項級數的性質
1．熟練掌握：一致收斂函數列的極限函數與函數項級數的和函數。
2．深刻理解：連續性，可積性，可微性定理。
3．簡單應用：會由定理討論函數項級數的和函數的連續性，可積性，可微
性。
4．綜合應用：會由定理證明和函數的分析性質，計算函數項級數的積分與
導數。
第十三章冪級數
一．考核知識點
1．冪級數
2． 函數的冪級數展開式
二．考核要求
(一)冪級數
1．熟練掌握： 冪級數的定義。
2．深刻理解：冪級數的性質。
3．應用：冪級數的計算，求冪級數的收斂半徑。
(二)函數的冪級數展開式
1．熟練掌握：泰勒級數定義。
2．深刻理解：泰勒級數和馬克勞林級數。
3．應用：能利用六個常用展開式。把一些簡單的函數展成馬克勞林級數。
第十四章多元函數的極限與連續
一．考核知識點
1．平面點集與多元函數
2．二元函數的極限和連續性
二．考核要求
(一)平面點集與多元函數
1．熟練掌握：二元函數和二元函數極限的定義。弄清二重極限與累次極限
的區別極其聯系。
2．深刻理解：平面點集的一些概念：鄰域、內點、界點、聚點、開區域、
閉區域、有界區域、無界區域等。完備性定理。
3．簡單應用：會求函數的定義域，畫定義域的圖形，并說明是何種點集。
4．綜合應用：會求平面點集的聚點與界點。
(二)二元函數的極限和連續性
1．熟練掌握：二元函數的極限和連續性的概念。
2．深刻理解：累次極限和二重極限的關系。
3．簡單應用：會求累次極限和二重極限。
4．綜合應用：會討論函數的連續性。
第十五章多元函數微分學
一．考核知識點
1．可微性
2．復合函數微分法
3．方向導數與梯度及泰勒公式與極值問題
二．考核要求
(一)可微性
1．熟練掌握：偏導數與全微分定義?？晌⒌膸缀我饬x。
2．深刻理解：可微性條件。
3．應用：會求函數的偏導數與全微分。
(二) 復合函數微分法
1．熟練掌握：復合函數微分法的有關概念。
2．深刻理解：復合函數的全微分鏈式法則。
3．應用：會求復合函數的偏導數或全微分。
第十五章重積分
一．考核知識點
1．二重積分的概念及直角坐標系下二重積分的計算
2．格林公式?曲線積分與路線的無關性
3．二重積分的變量變換與三重積分
4．重積分的應用
二．考核要求
(一) 二重積分的概念及直角坐標系下二重積分的計算
1．熟練掌握：二重積分的概念
2．深刻理解：二重積分的性質。
3．應用：會計算二重積分。
(二) 二重積分的變量變換與三重積分
1．熟練掌握： 三重積分的概念。
2．深刻理解：二重積分的可積函數類與性質，二重積分的變量變換公式與
化三重積分為累次積分。
3．簡單應用：會用極坐標計算二重積分，會三重積分換元法。
4．綜合應用：能對積分進行極坐標變換并計算二重積分。計算三重積分及
累次積分。
免責聲明：本文系轉載自網絡，如有侵犯，請聯系我們立即刪除，另：本文僅代表作者個人觀點，與本網站無關。其原創性以及文中陳述文字和內容未經本站證實，對本文以及其中全部或者部分內容、文字的真實性、完整性、及時性本站不作任何保證或承諾，請讀者僅作參考，并請自行核實相關內容。
|
|
|
上一篇文章： 2018年遼寧師范大學中級財務會計考研大綱
下一篇文章： 2018年遼寧師范大學數學分析考研大綱
|
|
|
|
|
|
文章搜索
您現在的位置： 
