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集美大學 2018 年碩士研究生入學考試初試自命題考試大綱
考試科目代碼：[605]
考試科目名稱：數學分析
一、考核目標
（一）考查考生對數學分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本計算的理解和
掌握程度。
（二）考查考生的基本計算能力，邏輯推理能力，抽象思維能力，分析和解決實際
問題的綜合能力。
二、試卷結構
（一）考試時間：180 分鐘，滿分：150 分。
（二）題型結構
1、計算題：6 小題，每小題 12 分，共 72 分。
2、討論題：2 小題。每小題 15 分，共 30 分。
3、證明題：4 小題，每小題 12 分，共 48 分。
三、答題方式
閉卷筆試。
四、考試內容
（一）一元函數微積分學部分，35%（52 分）
考試內容：
1、分析引論
函數初等特性；數列、函數極限分析定義；左、右極限；無窮小與無窮大定義；
無窮小的比較；極限一般性質、四則運算性質；極限存在判定準則；求極限方法；
函數的連續性；間斷點及分類；函數一致連續性及判定法；閉區間上連續函數 4 條
性質；上(下)確界、上(下)極限、聚點概念；實數完備性的 7 個等價描述。
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2、一元函數微分學
導數概念及幾何意義；導數四則、復合、反函數運算法則；隱函數、參量函數
求導方法；微分概念及幾何意義；微分四則運算法則；高階導數；高階微分；求導
數或微分；Fermat 引理；Rolle、Lagrange 和 Cauchy 中值定理；兩種余項形式的
Taylor 公式；洛必塔法則；函數單調性、凹凸性及判定法；函數極值點、拐點及判
定法；曲線漸近線與作圖。
3、一元函數積分學
原函數概念；不定積分及性質；定積分概念；可積性判定準則；可積的充分條
件；定積分性質；定積分中值定理；變限積分函數及性質；原函數存在性；微積分
學基本定理；換元積分法；分部積分法；不定積分計算法；定積分計算法；定積分
在幾何上應用。
考試要求：
1、理解變量極限及連續的概念，會判定極限的存在性，掌握求極限的基本方
法，掌握函數一致連續性的論證方法，掌握閉區間上連續函數的基本性質，理解上
(下)確界概念，了解實數完備性的等價命題。
2、理解導數和微分的概念，掌握導數與微分、高階導數的計算方法，掌握微
分中值定理、Taylor 公式及其應用，會用導數判定函數的性態。
3、理解不定積分、定積分的概念，了解可積性判定準則，掌握微積分學基本
公式及其應用，掌握定積分的性質和計算方法，會用微元法解決實際問題。
（二）多元函數微積分學部分，35%（53 分）
考試內容：
1、多元函數微分學
多元函數概念；重極限與累次極限；重極限存在性判定與求法；多元函數連續
性及性質；偏導數、方向導數與全微分概念；一階全微分形式不變性；高階偏導數；
二元函數微分中值定理；偏導數計算法；鏈鎖法則；隱函數(組)存在性及求導法；
偏導數在幾何上應用；多元函數極值及判定法；條件極值與 Lagrang 乘數法；多元
函數最大(小)值的確定。
2、多元函數積分學
二、三重積分概念與性質；重積分累次積分法、極坐標法、截面積分法、柱面
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坐標法、球面坐標法、一般變量替換法；兩類曲線積分概念、性質及聯系；兩類曲
線積分計算法；Green 公式；兩類曲面積分概念、性質及聯系；兩類曲面積分計算
法；奧高公式；Stokes 公式；平面曲線積分與路徑無關的等價命題；各類積分在幾
何上的應用；場論初步。
考試要求：
1、會判定重極限的存在性，理解多元函數連續、偏導數、全微分、方向導數
的概念及相互聯系，掌握偏導數的計算方法，掌握微分學在幾何上的應用，掌握多
元函數極值的判定法，會用 Lagrang 乘數法解決實際問題。
2、理解重積分、曲線積分、曲面積分的概念及性質，掌握二重、三重積分的
基本計算方法，掌握兩類曲線積分、曲面積分的相互聯系和計算方法，掌握 Green
公式、奧高公式及其應用，了解 Stokes 公式及場論。
（三）無窮級數論與反常積分部分，30%（45 分）
考試內容：
1、無窮級數論
常數項級數斂散性及性質；正項級數審斂法；任意項級數審斂法；絕對收斂與
條件收斂；函數項級數相關概念；函數列(級數)一致收斂性及判別法；函數列(級
數)的分析運算性質；冪級數收斂半徑；Abel 第一、第二定理；冪級數分析性質；5
個重要 Maclaurin 展開式；Riemann 引理；Fourier 級數的收斂性定理；函數展開
成冪級數；函數展開成 Fourier 級數或正弦、余弦級數；級數求和問題。
2、反常積分與含參變量積分
兩類反常積分斂散性及性質；反常積分審斂法；絕對收斂與條件收斂；兩類反
常積分的聯系；含參變量積分(反常積分)函數的概念；含參量積分函數的分析性質；
含參量變限積分函數的求導法則；含參變量反常積分一致收斂性及判別法；含參量
反常積分函數分析運算性質；反常積分（含參變量積分）計算法。
考試要求：
1、理解絕對收斂和條件收斂概念，掌握常數項級數的各種審斂法，理解函數
列(級數)一致收斂性概念，掌握一致收斂判別法，掌握函數列(級數)分析運算性質，
會將函數展開成冪級數或 Fourier 級數，掌握冪級數求和方法。
2、理解兩類反常積分斂散性的概念與性質，掌握反常積分的各種審斂法，會
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計算簡單的反常積分，理解含參變量積分(反常積分)函數的概念及分析性質，掌握
含參變量反常積分一致收斂判別法。
五、主要參考書目
（一）歐陽光中等編：《數學分析》（第三版），高等教育出版社，2007 年版。
（二）劉玉璉等編：《數學分析講義》（第五版），高等教育出版社，2011 年版。
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