2018年湖南師范大學841高等代數考研大綱

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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：841 考試科目名稱：高等代數
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試。
3)試卷內容結構
北京大學數學系所編的高等代數第一章至第九章。
4)題型結構
a: 填空題，5 小題，每小題 6 分，共 30 分；
b: 計算題，4 小題，每小題 15 分，共 60 分；
c: 證明題，4 小題，每小題 15 分，共 60 分。
二、考試內容與考試要求
1、多項式
考試內容
數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多
項式函數，復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式，多元多項式。
考試要求
（1）掌握數域的定義，并會判斷一個代數系統是否是數域。
（2）正確理解數域 P 上一元多項式的定義，多項式相乘，次數，一元多項
式環等概念。掌握多項式的運算及運算律。
（3）正確理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質。
（4）正確理解和掌握兩個（或若干個）多項式的最大公因式，互素等概念
及性質。能用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式。
（5）正確理解和掌握不可約多項式的定義及性質。了解因式分解定理。
（6）正確理解和掌握 k 重因式的定義。
（7）掌握多項式函數的概念，余數定理，多項式的根及性質。正確理解多
項式與多項式函數的關系。
（8）理解代數基本定理。熟練掌握復（實）系數多項式分解定理及標準分
解式。
（9）正確理解和掌握本原多項式的定義及性質。掌握整系數多項式的有理
根的計算。
（10）了解多元多項式的基本概念。
2、行列式
考試內容
排列，n 級行列式的定義，n 級行列式的性質，n 級行列式的展開，行列式
的計算，克拉默(Cramer)法則，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法規則。
考試要求
（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶
性與對換的關系。
（2）深刻理解和掌握 n 級行列式的定義，并能用定義計算一些特殊行列式。
（3）熟練掌握行列式的基本性質。
（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列
式性質計算一些簡單行列式。
（5）正確理解元素的余子式、代數余子式等概念。熟練掌握行列式按一行
（列）展開的公式。掌握計算行列式的基本方法與技巧。
（6）熟練掌握克拉默(Cramer)法則，
（7）了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法規則解決簡單的
問題。
3、線性方程組
考試內容
消元法，n 維向量空間，線性相關性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，
線性方程組解的結構。
考試要求
（1）正確理解和掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程
組的初等變換等概念及性質。掌握階梯形方程組的特征及作用。會求線性方程組
的一般解。
（2）理解和掌握 n 維向量及兩個 n 維向量相等的定義。熟練掌握向量的運
算規律和性質。
（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關、線性無關的定義及性質。掌握
兩個向量組等價的定義及等價性質定理。深刻理解向量組的極大無關組、秩的定
義，并會求向量組的一個極大無關組。
（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣
的秩與其子式的關系。
（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式
解。
（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎解系。了解解空間的概念。熟
練掌握基礎解系的求法、線性方程組的結構定理。并對有解的一般線性方程組，
會求其全部解。
4、矩陣
考試內容
矩陣的概念，矩陣的運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，
初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應用。
考試要求
（1）掌握矩陣的的加法、數乘、乘法、轉置等運算及其計算規律。
（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關系。
（3）正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個 n 階
方陣可逆的充要條件和用公式法求一個矩陣的逆矩陣。
（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質。
（5）正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關系，熟練
掌握一個矩陣的等價標準形和矩陣可逆的充要條件；會用初等變換的方法求一個
方陣的逆矩陣。
（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關系，會求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內容
二次型的矩陣表示，標準型，唯一性，正定（半正定）二次型。
考試要求
（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及
二次型與對稱矩陣的一一對應關系，掌握矩陣的合同概念及性質。
（2）理解二次型的標準形，掌握化二次型為標準形的兩種基本方法。
（3）正確理解復數域和實數域上二次型的規范性的唯一性，了解符號差、
慣性指數等概念，掌握慣性定理的證明思想。
（4）正確理解正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟
練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價條件。
6、線性空間
考試內容
集合、映射，線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標，基變換與坐標
變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。
考試要求
（1）正確理解和掌握線性空間的定義及性質，會判斷一個代數系統是否為
線性空間。
（2）理解線性組合、線性表示、線性相關、線性無關等概念，正確理解和
掌握 n 維線性空間的概念及性質。
（3）基變換與坐標變換的關系。
（4）正解理解和掌握基之間的過渡矩陣及其性質。
（5）正確理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的
概念和性質，掌握向量組生成子空間的定義及等價條件。
（6）掌握子空間的交與和的定義及性質，掌握維數公式并能熟練運用。
（7）深刻理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。
7、線性變換
考試內容
線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，
對角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(Jordan)標準形介紹，最
小多項式。
考試要求
（1）理解和掌握線性變換的定義及性質。
（2）掌握線性變換的運算及運算規律，理解線性變換的多項式。
（3）深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯系，掌握矩陣相似的概念和線性
變換在不同基下的矩陣相似等性質。
（4）理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念和性質，會
求一個矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項式的關系及哈
密頓-凱萊定理。
（5）掌握 n 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的
充要條件。
（6）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握線性變
換的值域與它對應的矩陣的秩的關系及線性變換的秩和零度間的關系。
（7）掌握不變子空間的定義，會判定一個子空間是否是 A-子空間，深刻理
解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系，掌握將空間 V 按特征值分解成不
變子空間和直和表達式。
（8）了解若爾當(Jordan)標準形及其相關性質。
（9）掌握最小多項式的定義和基本性質，會求任意 Jordan 標準形矩陣的最
小多項式。
8、λ -矩陣
考試內容
? -矩陣的定義，? -矩陣在初等變換下的標準型，不變因子，矩陣相似的條
件，初等因子，若爾當(Jordan)標準形的理論推導，矩陣的有理標準形。
考試要求
（1）了解 ? -矩陣的定義，理解? -矩陣可逆的充要條件。
（2）了解 ? -矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關系。
（3）了解 ? -矩陣的等價標準形
（4）了解特征矩陣? E-A 之間的等價和矩陣之間的相似的關系。
9、歐幾里德空間
考試內容
定義與基本性質，標準正交基，同構，正交變換，子空間，實對稱矩陣的相
似標準形，向量到子空間的距離，最小二乘法。
考試要求
（1）深刻理解歐氏空間的定義及性質，深刻理解內積的本質，掌握向量的
長度，兩個向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質，掌握各
種概念之間的聯系和區別。
（2）正確理解正交向量組、標準正交基的概念，掌握施密特正交化過程，
并能把一組線性無關的向量化為單位正交的向量。
（3）正確理解和掌握正交變換的概念及幾個等價關系，掌握正交變換與向
量的長度，標準正交基，正交矩陣間的關系。
（4）正確理解和掌握兩個子空間正交的概念，掌握正交與直和的關系，及
有限維歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質。
（5）深刻理解并掌握任一個實對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，并掌
握求正交陣的方法。能用正交變換化實二次型為標準型。
（6）正確計算向量之間的距離，了解最小二乘法原理。
三、參考書目
1、北京大學數學系編，高等代數 (第三版)，高等教育出版社, 北京（2003）；
2、張禾瑞，郝炳新編，高等代數 (第五版)，高等教育出版社，北京（2008）。

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