2018年湖南師范大學602高等數學考研大綱

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湖南師范大學研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：[602] 考試科目名稱：高等數學
一、考試形式與試卷結構
1)試卷成績及考試時間：
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
各部分內容分值比重為：
函數與極限 15%
一元函數的微積分 40％
多元函數微積分 25％
無窮級數 10％
常微分方程 10％
4)題型結構
a: 計算題，6 小題，每小題 15 分，共 90 分
b: 應用題，2 小題，每小題 20 分，共 40 分
c: 證明題，1 小題，每小題 20 分，共 20 分
二、考試內容與考試要求
高等數學
1、函數與極限
考試內容
(1)函數
函數的概念及表示法；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、
反函數、分段函數和隱函數；基本初等函數的性質及其圖形，初等函數；簡單應
用問題的函數關系的建立。
(2)極限
數列極限與函數極限的定義及其性質；函數的左極限與右極限；無窮小和無
窮大的概念及其關系；無窮小的性質及無窮小的比較；極限的四則運算，極限存
在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。
(3)連續
函數連續的概念；左連續與右連續，函數間斷點的類型；連續函數的四則運
算法則，復合函數的連續性，反函數的連續性，初等函數的連續性；閉區間上連
續函數的性質(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。
考試要求
理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系
式；了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；理解復合函數及分段函數的
概念，了解反函數及隱函數的概念；掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初
等函數的基本概念；理解極限的概念；理解函數左極限與右極限的概念，掌握函
數極限存在與左、右極限之間的關系；掌握極限的性質及四則運算法則，掌握極
限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法；
理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限；
理解函數連續性的概念，會判別函數間斷點的類型；了解連續函數的性質和初等
函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質，并會應用這些性質。
2、一元函數的微積分
考試內容
(1)導數與微分
導數和微分的定義，左導數與右導數，導數的幾何意義；函數的可導性、可
微性與連續性的關系；導數和微分的四則運算法則，導數和微分的基本公式；復
合函數、反函數、隱函數和由參數方程所確定的函數的求導法，高階導數，一階
微分形式的不變性。
(2)微分中值定理及導數的應用
微分中值定理（羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理），洛必達
法則，泰勒公式；函數單調性的判別，函數的極值，函數的最大、最小值；函數
圖形的凹凸性、拐點及漸近線。
(3)不定積分
原函數和不定積分的概念；不定積分的基本性質，不定積分的基本公式；不
定積分換元積分法和分部積分法；有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數
的積分。
(4)定積分
定積分的概念和基本性質，定積分的幾何意義；變上限積分定義的函數及其
導數，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法；廣義積分，定積分
的應用。
考試要求
理解導數的概念及其幾何意義，理解函數可導性、可微性、連續性之間的關
系；會求平面曲線的切線方程和法線方程；熟練掌握導數的基本公式、四則運算
法則及復合函數的求導方法，會求反函數、隱函數和由參數方程所確定的函數的
導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數；了解微分的概念，了解
微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
理解并會應用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理、泰勒公式；
熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法；掌握利用導數判斷函數單調性的方
法，會用單調性證明不等式；理解函數極值的概念，掌握求函數的極值與最大、
最小值的方法，并會求解簡單的應用問題；會判斷平面曲線的凹凸性，會求平面
曲線的拐點；會求平面曲線的水平、鉛直漸近線。
理解原函數和不定積分的概念；掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和
定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法；會求有理函數、
三角函數有理式及簡單無理函數的積分；理解積分上限的函數，會求它的導數，
掌握牛頓一萊布尼茨公式；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面
圖形的面積、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功）；
了解廣義積分的概念，會計算廣義積分。
3、多元函數微積分
考試內容
(1)多元函數的概念，二元函數的幾何意義；二元函數的極限和連續性；偏
導數和全微分，二元函數可微性、偏導數存在性、連續性之間的關系；復合函數
和隱函數的求導法，二階偏導數，二元函數的極值。
(2)二重積分的概念與性質，二重積分的幾何意義；二重積分的計算。
考試要求
了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義；了解多元函數偏導數與全
微分的概念，會求多元復合函數一階、二階偏導數，會求全微分，了解隱函數存
在定理，會求多元隱函數的偏導數；了解多元函數極值的概念，掌握多元函數極
值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，
會求簡單多元函數的最大值和最小值，會求解一些簡單的應用題；了解二重積分
的概念與基本性質，掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法，會交換積
分次序。
4、無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂與發散的概念，收斂級數的和的概念，級數的基本性質與
收斂的必要條件，幾何級數與 p 級數及其收斂性，正項級數收斂性的判別法，交
錯級數與萊布尼茨定理，任意項級數的絕對收斂與條件收斂，函數項級數的收斂
域與和函數的概念，冪級數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域，冪
級數的和函數，冪級數在其收斂區間內的基本性質，簡單冪級數的和函數的求法
初等函數的冪級數展開式。
考試要求
理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質
及收斂的必要條件；掌握幾何級數與 p 級數的收斂與發散的條件；掌握正項級數
收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法；掌握交錯級數的萊布尼茨
判別法；了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關
系。
了解函數項級數的收斂域及和函數的概念；理解冪級數收斂半徑的概念、并
掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法；了解冪級數在其收斂區間內
的基本性質（和函數的連續性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂
區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和；了解函數展開為泰勒級數的
充分必要條件；掌握 ex
，sinx，cosx，ln(1+x)及(1+x)n
的麥克勞林（Maclaurin）
展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。
5、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性
微分方程，可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；二
階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數齊次線性微分方程，簡單
的二階常系數非齊次線性微分方程。
考試要求
了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念；掌握變量可分離
的方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程；理解二階線性微分方程
解的性質及解的結構定理；掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法；會解自由
項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數
非齊次線性微分方程。
三、參考書目
[1]同濟大學數學系編.高等數學（第六版）.高等教育出版社,2007

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