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哈爾濱工業大學 2018 碩士研究生單獨考試
數學科目大綱
考試科目：高等數學
考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷內容結構
函數、極限、連續約 25%
一元函數微積分約 55%
無窮級數約 5%
常微分方程約 5%
多元函數微積分約 10%
四、試卷題型結構
單選題 6 小題，每小題 5 分，共 30 分
填空題 6 小題，每小題 5 分，共 30 分
解答題(包括證明題)7 小題，共 90 分
（一）函數、極限、連續
考試內容
函數的概念及表示法；函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性；復合函數、
反函數、分段函數和隱函數；基本初等函數的性質及其圖形；初等函數；函數關
系的建立。
數列極限與函數極限的定義及其性質；函數的左極限和右極限、無窮小量和
無窮大量的概念及其關系；無窮小量的性質及無窮小量的比較；極限的四則運算；
極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則；兩個重要極限。
函數連續的概念；函數間斷點的類型；初等函數的連續性；閉區間上連續函
數的性質。
考試要求
1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。
5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與
左極限、右極限之間的關系。
6．掌握極限的性質及四則運算法則。
7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極
限求極限的方法。
8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價
無窮小量求極限。
9．理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型。
10．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性
質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。
（二）一元函數微分學
考試內容
導數和微分的概念；導數的幾何意義；函數的可導性與連續性之間的關系；
平面曲線的切線和法線；導數和微分的四則運算；基本初等函數的導數；復合函
數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法；高階導數；一階微分
形式的不變性；微分中值定理洛必達(L’Hospital)法則；函數單調性的判別；函
數的極值；函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線；函數圖形的描繪；函數的最大值
與最小值。
考試要求
1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，
會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數的可導性與連續性之間的關系。
2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的
導數公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。
3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數。
4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函
數的導數。
5．理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)
中值定理，了解并會用泰勒(Taylor)定理。
6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。
7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方
法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用。
8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直
和斜漸近線，會描繪函數的圖形。
（三）一元函數積分學
考試內容
原函數和不定積分的概念；不定積分的基本性質；基本積分公式；定積分的
概念和基本性質；定積分中值定理；積分上限的函數及其導數；牛頓-萊布尼茨
(Newton-Leibniz)公式；不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數、
三角函數的有理式和簡單無理函數的積分反常(廣義)積分；定積分的應用。
考試要求
1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。
2. 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值
定理，掌握換元積分法與分部積分法。
3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。
4. 理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式。
5。了解反常積分的概念，會計算反常積分。
6. 掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲
線的弧長、旋轉體的體積及側面積)及函數的平均值。
（四）無窮級數
考試內容
常數項級數的收斂與發散的概念；收斂級數的和的概念；級數的基本性質與
收斂的必要條件；幾何級數與級數及其收斂性；正項級數收斂性的判別法；交錯
級數與萊布尼茨定理；任意項級數的絕對收斂與條件收斂；函數項級數的收斂域
與和函數的概念；冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域冪級數的
和函數；冪級數在其收斂區間內的基本性質；簡單冪級數的和函數的求法；初等
函數的冪級數展開式。
考試要求
1. 理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本
性質及收斂的必要條件。
2. 掌握幾何級數與級數的收斂與發散的條件。
3. 掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。
4. 掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
5. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關
系。
6. 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。
7. 理解冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收
斂域的求法。
8. 了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐
項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數
的和。
9. 了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。
10. 掌握泰勒（Taylor）及的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡
單函數間接展開為冪級數。
（五）常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性
微分方程；伯努利(Bernoulli)方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某
些微分方程；可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質及解的結構定理；
二階常系數齊次線性微分方程。
考試要求
1. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。
2. 掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解
某些微分方程。
4. 理解線性微分方程解的性質及解的結構。
5. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。
6. 會用微分方程解決一些簡單的應用問題。
（六）多元函數微分學
考試內容
多元函數的概念；二元函數的幾何意義；二元函數的極限與連續的概念；有
界閉區域上多元連續函數的性質；多元函數的偏導數和全微分全微分存在的必要
條件和充分條件。
多元復合函數、隱函數的求導法。二階偏導數。方向導數和梯度?？臻g曲線
的切線和法平面。曲面的切平面和法線。二元函數的二階泰勒公式。多元函數的
極值和條件極值。多元函數的最大值、最小值及其簡單應用。
考試要求
1. 理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。
2. 了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。
3. 理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的
必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。
4. 理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法。
5. 掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。
6. 了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數。
7. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們
的方程。
8. 了解二元函數的二階泰勒公式。
9. 理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條
件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘
數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應
用問題。
（七）多元函數積分學
考試內容
二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用。
考試要求
1. 理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的
中值定理。
2. 掌握二重積分的計算方法(直角坐標)，會計算三重積分(直角坐標)。
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