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《高等代數》考試大綱
科目名稱：高等代數
科目代碼：834
一、 考試目的
本考試大綱適用于報考河南工業大學理學院數學專業的碩士研究生《高等代數》科目的
入學考試。它的主要目的是測試考生是否系統地學習和掌握了高等代數的知識，代數的思維
方式，以及現代數學的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思維能力、較強的邏輯推理能
力和運算能力。
二、考試的性質與范圍
本考試是一種測試應試者綜合運用所學的《高等代數》的知識的尺度參照性水平考試。
考試范圍包括高等代數的基本的概念，理論和方法，考察考生的理解、分析、解決代數問題
的能力。
三、考試基本要求
1. 熟練掌握高等代數的基本概念、命題、定理；
2. 綜合運用所學的高等代數的知識的能力
四、考試形式
閉卷
五、考試題型
計算題、證明題
六、考試內容（或知識點）
1.多項式
數域，一元多項式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，復系數與實系
數多項式的因式分解，有理系數多項式。
2、行列式
排列，n 級行列式的定義和性質，行列式按一行（列）展開，克拉默（Cramer）法則，
范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k 級子式。
3. 線性方程組
消元法，n 維向量空間，線性相關性，向量組和矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，
線性方程組解的結構。
4. 矩陣
矩陣的概念，矩陣的線性運算、乘法、轉置、方陣的冪與方陣的乘積的行列式與秩，矩
陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，矩陣的等價，分塊矩陣乘法的初等變換，對稱矩陣和反對
稱矩陣，正交矩陣，施密特正交化過程。
5. 二次型
線性替換，n 元二次型，二次型的矩陣，標準型，規范形，慣性定理，正定（半正定）
二次型。
6. 線性空間
集合、映射，線性空間的定義與簡單性質，維數、基與坐標，基變換與坐標變換，線性
子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構。
7. 線性變換
線性變換的定義，線性變換的運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，線性變換的
矩陣在某組基下的矩陣是對角矩陣的條件，線性變換的值域與核，不變子空間。
8. λ -矩陣
λ -矩陣的定義，λ -矩陣在初等變換下的標準型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因
子，若當（Jordan）標準形，最小多項式。
9. 歐幾里得空間
定義與基本性質，標準正交基，同構，子空間，正交變換的定義和性質，對稱變換的定
義和性質。
七、參考書目
(1) 高等代數. 北京大學數學系. 高等教育出版社，出版年 2003.
八、樣卷(附后)
河南工業大學
2015 年碩士研究生入學考試試題
考試科目： 837 高等代數(A) 共 2 頁（第 1 頁）
注意：1、本試題紙上不答題，所有答案均寫在答題紙上
2、本試題紙必須連同答題紙一起上交。
一、（15 分）計算行列式 )( ba
xaaa
bxaa
bbxa
bbbx
D n
??
?
????
?
?
?
。
二、（15 分）設 A 是 nm ? 矩陣， t
??? ,,, 21
??? 是齊次線性方程組 0?AX 的基礎解系，? 是齊次線性方程
組 bAX ? 的一個解，證明：
(1) t
??????? ?????? ,,,, 21
線性無關；
(2) bAX ? 的任意一個解可以由 t
??????? ?????? ,,,, 21
線性表示。
三、（15 分）已知 BA, 為 3 階矩陣，且滿足 EBBA 42
1
??
?
,其中 E 為 3 階單位矩陣。
)1( 證明 EA 2? 可逆； )2( 若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
200
021
021
B ，求矩陣 A 。
四、（15 分）已知 BA, 為 4 階矩陣，若滿足 2)(,02 ??? BrBAB ，且行列式 02 ???? EAEA 。
)1( 求矩陣 A 的特征值； )2( 證明矩陣 A 可相似對角化； )3( 計算行列式 EA 3? 。
五、（15 分）設有三元二次型 AXXxxxf
T
?),,( 321 ，其矩陣 A 主對角線元素之和為 3 ，且滿足
0?? BAB ，其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
211
110
101
B 。
（1）用正交變換化二次型為標準形,并寫出所用正交變換；
（2）求此二次型； （3）求 )()( EArEAr ??? 。
六、（15 分）設 1
V 與 2
V 分別是齊次線性方程組 02211
???? nn
xkxkxk ? 與 n
xxx ??? ?21 的解空間,
其中 n
kkk ?,, 21 是 P 中的一組給定的滿足 021
???? n
kkk ? 的數,證明： 21
VVP
n
?? 。
七、（15 分）若 A 是 n 階矩陣,當有一個常數項不為零的多項式 )(xf ,使 0)( ?Af ,則 A 的特征值一定全不
為 0 。
八、（15 分）設
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
201
034
011
A ，求 n
A 。
九、（15 分）設V 是 n 維線性空間， 21
,VV 是V 的子空間，如果 nVV ?? 21
dimdim .
證明：存在線性變換 VV ?? : ，使 2
1
1
)0(, VVV ????
?
。
十、（15 分）證明：如果 ,1))(),((,1))(),(( ?? xhxfxgxf 則 1))()(),(( ?xhxgxf 。
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