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海南師范大學 2017 年碩士研究生入學考試初試科目
考 試 大 綱
科目名稱: 高等數學
適用專業: 學科教育(數學)
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。
二、考查目標（復習要求）
全日制攻讀碩士學位研究生入學考試高等數學科目考試內容包括高等數學一門學科基
礎課程，要求考生系統掌握相關學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并能運用相關理論
和方法分析、解決相關的實際問題。
三、考試內容概要
第一章極限與連續
1、考試內容
函數概念及其表示法，函數的幾種特性，反函數，復合函數，初等函數，雙曲函數與反
雙曲函數；數列極限，函數極限，極限運算法則，無窮小與無窮大量，無窮小的比較，極限
存在準則及兩個重要極限，函數的連續性，函數的間斷點，初等函數的連續性，閉區間上函
數連續的性質。
2、考試要求：
函數部分內容中學已學過，只加以復習提高，不作詳細講解。著重理解函數的定義、分
段函數的概念、基本初等函數與初等函數的定義。理解極限的ε -N 或ε -δ 說法，掌握極限
的四則運算法則；了解極限存在的兩個準則，會用兩個重要極限求極限；掌握無窮小、無窮
大的概念及無窮小的比較、無窮小與無窮大的關系、無窮小與函數極限的關系；理解連續概
念，會判斷間斷點的類型；掌握初等函數的連續性和閉區間上連續函數的性質。
3、重點、難點：
重點：掌握極限的概念，并要對極限思想有深刻的理解，會求函數的極限。
難點：復合函數的定義、定義域；用極限的ε -N 或ε -δ 說法證明極限。
第二章一元函微分學
1、考試內容
導數概念，函數求導法則，基本初等函數的導數及初等函數的求導問題，高階導數，隱
函數的導數，由參數方程所確定的函數的導數，函數微分的概念，基本初等的微分及微分運
算法則，微分在近似計算及誤差估計中的應用；中值定理，羅必塔法則，泰勒公式，函數單
調性的判定法，函數極值及其求法、最大值、最小值的求法，曲線的凹凸與拐點，函數圖形
的作法。
2、 考試要求
掌握導數概念，會用導數概念推導出導數基本公式；掌握導數的幾何意義；能用導數描
述一些物理量；熟練掌握導數基本公式、求導法則，能準確地求初等函數的導數；會求高階
導數、隱函數的導數和由參數方程所確定的函數的導數；掌握微分概念、微分的運算法則、
微分與導數的關系，會求函數的微分，掌握一階微分形式不變性，會用微分進行近似計算；
掌握 Rolle 定理，Lagrange 定理，了解 Cauchy 定理，會應用 Lagrange 定理；能熟悉準確
地用羅必塔法則求未定式的極限；掌握利用導數討論函數和曲線的性態的方法，并能描繪函
數的圖形；能解決常見的求最大、最小值應用題。
3、重點、難點：
重點：求函數的導數。Lagrange 定理、利用導數討論函數和曲線的性態。
難點：復合函數求導法、隱函數求導法。求實際問題的最大、最小值。
第三章一元函數積分學
1、考試內容：不定積分的概念、性質與基本積分公式，換元積分法，分部積分法，幾
種特殊類型函數（有理函數、三角函數的有理式，簡單無理函數）的積分；定積分概念及其
性質，微積分基本公式，定積分換元法，定積分分部積分法，廣義積分，定積分的近似計算；
定積分的微元法，定積分在計算面積，體積及曲線弧長中的應用，定積分在物理中的應用，
平均值。
2、考試要求：掌握不定積分的概念及性質，熟練掌握換元積分法、分部積分法，會求
有理函數、三角函數有理式、簡單無理函數的積分。掌握定積分的概念和性質，掌握定積分
與不定積分的聯系，掌握定積分的換元法和分部積分法，理解廣義積分的概念，會求廣義積
分值，了解定積分的近似計算的方法。掌握定積分的微元法，會利用定積分計算面積、體積
及曲線弧長，會利用定積分求重心、求功、求轉動慣量。
3、重點、難點：
重點：定積分的概念和不定積分的計算、定積分的應用。
難點：定積分的應用。
第四章 微分方程
1、考試內容：
常微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程，齊次方程，階線性方程與貝努利方程，
可降階的高階微分方程，高階線性微分方程及其解的結構，二階常系數線性微分方程，歐拉
方程。
2、考試要求：
掌握常微分方程的基本概念，熟練掌握可分離變量的微分方程及一階線性微分方程的解
法，會解齊次型方程和貝努利方程，并從中領會用變量代換求解方程的思想；會解可降階的
高階微分方程；掌握線性微分方程解的結構形式，能熟練地求二階常系數齊次線性微分方程
的解，并會求非齊次（特殊類型）方程的特解，會用微分方程解決相關的幾何、物理問題。
3、重點、難點：
重點：求一階線性微分方程的解；分離變量法；常數變易法；求二階常系數齊次線性微
分方程的解。
難點：降階法；求非齊次方程的特解。
第五章 向量代數與空間解析幾何
1、考試內容：
空間直角坐標系及兩點間的距離，向量的概念及其運算（包括數量積與向量積），向量
的坐標，空間中的平面和直線，常見二次曲面。
2、考試要求：
理解空間直角坐標系，掌握兩點距離公式；掌握向量概念及向量的線性運算、數乘向量、向
量的數量積和向量積；掌握向量的坐標表達式、兩向量平行、垂直的條件；能熟練地運用坐
標表達式進行向量運算；熟悉空間平面和直線的方程及其求法；掌握球面方程、以坐標軸為
旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；對常見的二次曲面的方程，要求能說出
名稱并畫出圖形；了解空間曲線的一般方程，了解坐標軸的變換。
3、 重點、難點：
重點：空間平面和直線的方程及其求法；由方程判斷二次曲面的類型，并作出圖形。
難點：判斷二次曲面的類型及作出圖形。
第六章 多元函數微分學
1、考試內容：
多元函數的概念，多元函數的極限與連續性，偏導數，全微分，多元復合函數的求導，
隱函數求導，偏導數的幾何應用，方向導數與梯度，多元函數的極值及其求法，二元函數的
泰勒公式。
2、考試要求：
理解多元函數的概念（以二元函數為主），掌握二元函數的極限、連續性概念，了解有界閉
區域上連續函數的性質，理解偏導數、高階偏導數、全微分的概念，了解全微分存在的必要
條件和充分條件；熟練、掌握多元復合函數的求導法，會求隱函數的偏導數；會利用偏導數
求空間曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線方程，了解方向導數的概念及計算公式；
了解二元函數的泰勒公式；會利用偏導數求二元函數的極值，了解最小二乘法和拉格朗日乘
數法。
3、重點、難點：
重點：二元函數的極限、連續性概念；偏導數、全微分的概念及求法。
難點：復合函數及隱函數求導法；偏導數的應用。
第七章 重積分
1、考試內容：
二重積分的概念及性質，二重積分的計算法，二重積分的應用，三重積分的概念及其計
算方法。
2、考試要求：
理解并掌握二重積分的概念，掌握二重積分的性質，熟練掌握在直角坐標系和極坐標系
中計算二重積分的方法；理解三重積分的概念，了解其性質及在不同坐標系下的計算方法；
掌握應用重積分解決實際問題的思想方法，了解利用重積分計算曲面面積、計算質量、重心、
轉動慣量的方法。
4、重點、難點：
重點：二重積分的概念及計算。
難點：如何將重積分化為累次積分。
第八章 曲線積分與曲面積分
1、考試內容：
曲線積分的概念及性質，曲線積分的計算，格林公式及其應用，曲面積分的概念及性質，
曲面積分的計算，高斯公式。
2、考試要求：
理解兩類曲線積分的概念，掌握其計算方法，掌握格林公式，會運用曲線積分與路徑無
關的條件；了解兩類曲面積分的概念，知道其計算方法。
3、重點、難點：
重點：曲線積分概念及其計算
難點：曲線積分的計算。
第九章 無窮級數
1、考試內容：
常數項級數的概念及性質，常數項級數和收斂法，冪級數，函數展成冪級數，函數的冪
級數展開式的應用，傅里葉級數，正弦級數與余弦級數。
2、考試要求：
掌握級數、級數收斂、發散概念及收斂級數的基本性質，熟練掌握正項級數斂散性判別
法，掌握萊布尼茲判別法，掌握絕對收斂和條件收斂的概念，會判斷級數收斂是屬于絕對收
斂還條件收斂；掌握函數項級數的收斂域及和函數的概念，會求冪級數的收斂半徑，掌握將
函數展成冪級數的方法，會求常見冪級數的和函數，會用冪級數進行近似計算；對傅氏級數
有初步了解。
3、重點、難點：
重點：數項級數斂散性判別法；常見函數展成冪級數。
難點：斂散性判別法，將函數展成冪級數，求收斂級數的和函數。
主要參考書：
（1）《數學分析》（上、下），華東師大數學系編，高等教育出版社
（2）微積分（上、下冊）.同濟大學應用數學系.北京市：高等教育出版社.
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