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海南師范大學 2017 年碩士研究生入學考試初試科目
考 試 大 綱
科目名稱: 數學綜合
適用專業: 數學各專業
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。
（三）試卷內容結構（考試的內容比例）
綜合考試科目各部分內容所占分值為
第一部分 實變函數 約 30 分
第二部分 常微分方程 約 35 分
第三部分 概率論與數理統計 約 35 分
二、考查目標（復習要求）
全日制攻讀碩士學位研究生入學考試概率論與數理統計科目考試內容包括概率論和數
理統計兩門學科基礎課程，要求考生系統掌握相關學科的基本知識、基礎理論和基本方法，
并能運用相關理論和方法分析、解決相關的實際問題。
三、考試內容概要
第一部分：實變函數
第一章 集合
1. 考試內容
§1 集合概念：集合的描述與表示，子集，集合的相等。
§2 集合的運算：集合的并、交、差、補運算及其性質，笛·摩根公式：上限集、下限
集及其性質。
§3 對等與基數：映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質；對等及其性質；基數與
基數的比較，伯恩斯坦定理。
§4 可數集合：可數集的定義及等價條件，可列集及其性質，可列集的判斷證明。
§5 不可數集合: 不可數集的存在性, 連續基數及其性質，連續基數的判斷證明，基數
無最大者。
2. 考試要求
⑴ 理解集合的并、交、差、補、上限集于下限集等概念，熟練掌握集合的各種運算，
掌握證明集合間包含與相等關系的一般方法。
⑵ 了解基數的概念，掌握證明兩個集合對等的方法，會用伯恩斯坦定理，理解有限集
與無限集的特征。
⑶ 理解可數集與具有連續基數的集的概念及其性質，掌握可數集, 連續基數的判斷證
明方法。
3. 重點、難點
重點 集合的運算及其運性質，集合的對等，基數的比較，可數集與具有連續基數的集
合的性質。
難點上限集、下限集、可數集, 連續基數的判斷證明。
第二章 點集
1. 考試內容
§1 度量空間，n 維歐氏空間：度量空間概念、鄰域及其性質、收斂點列、點集的距離
與直徑、區間概念。
§2 聚點，內點，界點：內電，外點，邊界點，聚點及孤立點，聚點及其等價條件，邊
界，內核、導集與閉包概念及其簡單性質。Bolzano-Weierstrass 定理，
§3 開集、閉集、完備集：開集與閉集的及其運算性質，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，
緊集、自密集與完備集。
§4. 直線上的開集、閉集和完備集的構造：直線上開集、閉集、完備集的構造。
平面上開集的構造，康托（Cantor）集的構造與性質。
2. 考試要求
⑴ 理解鄰域、內點、聚點、開集、閉集等基本概念及聚點的等價條件，
⑵ 熟練掌握開集、閉集的性質，掌握開集、閉集的判斷證明方法。了解直線上開集的
構造，知道直線上閉集和完備集的構造。
⑶ 了解 Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理。
⑷ 了解 Cantor 集的構造及其性質。
3. 重點、難點
重點 聚點及其等價條件，Bolzano-Weierstrass 定理，直線上開集的構造，Borel 有限
覆蓋定理，Cantor 集。
難點 聚點、內點、開集、閉集、完備集等概念，Cantor 集的構造及其性質。
第三章、測度論
1. 考試內容
§1 外測度：外測度及其性質，
§2 可測集：可測集的定義，卡拉皆屋獨利條件，可測集的運算性質，單調可測集列極
限的測度。
§3 可測集類：區間、開集、閉集皆可測、G6 型集，F?型集，可測集同開集、閉集、G6
型集、F?型集之間的關系。
2. 考試要求
⑴ 了解勒貝格外測度的定義及主要性質。
⑵ 理解勒貝格可測集的定義并掌握其運算。
⑶ 理解勒貝格測度的可列可加性以及單調可測集列極限的測度。
⑷ 了解常見的可測集合,知道勒貝格可測集與開集、閉集、G6 型集與 F?型集之間的關
系。
3. 重點、難點
重點 勒貝格可測集的運算性質，單調可測集列極限的測度，可測集同開集、閉集、G6 型
集以及 F?型集之間的關系。
難點 可測集概念的引入與可測集的構造。
第四章、可測函數
1. 考試內容
§1 可測函數及其性質：點集上的函數：廣義實數系 R=R∪(±∞)的運算。可測函數的
定義及等價條件，連續函數與簡單函數皆可測，可測函數關于代數運算和極限運算的封閉性，
可測函數同簡單函數列的關系，“幾乎處處”的概念。
§2 葉果洛夫定理：可測函數列的收斂性, 葉果洛夫定理。
§3 可測函數的構造：魯金定理（兩種形式）
§4 依測度收斂：依測度收斂，依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定
理，黎斯定理，依測度收斂極限的唯一性。
2. 考試要求
⑴ 了解點集上的連續函數、函數列的上極限與下極限、“幾乎處處”等概念。
⑵ 理解可測函數的定義及其在代數運算與極限運算下的封閉性，可測函數可表為簡單
函數列的極限。
⑶ 了解魯金定理，知道可測函數同連續函數之間的關系。
⑷ 理解可測函數列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互
關系。
3. 重點、難點
重點 可測函數定義及等價條件，可測函數關于代數運算和極限運算的封閉性，依測度
收斂與幾乎處處收斂的關系，魯金定理。
難點 葉果洛夫定理，黎斯定理，魯金定理。
第五章、勒貝格積分
1. 考試內容
§5.1 黎曼積分：黎曼積分定義，達布定理，
§5.2 勒貝格積分的定義：測度有限集合上有界函數的勒貝格大和與小和，上積分與下
積分，有界勒貝格可積函數，有界可積的充要條件是有界可測，有界勒貝格可積函數的運算
性質，勒貝格積分與黎曼積分的關系。
§5.3 勒貝格積分的性質：有界函數積分的積分區域與被積函數的有限可加性，積分的
線性性質。積分的單調性與絕對可積性，
§5.4 一般可積函數：非負函數積分存在與可積的定義，一般函數積分存在與可積定義，
勒貝格積分的性質。
§5.5 積分的極限定理：勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數列積分定理，勒貝格逐項
積分定理，可積函數積分區域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關系。
§5.6 勒貝格積分的幾何意義. 富比尼定理：直積、截面的概念及性質，勒貝格積分的
幾何意義.，富比尼定理。
2. 考試要求
⑴ 理解勒貝格積分的定義及其基本性質，特別是絕對可積性和絕對連續性是勒貝格積
分的重要特征。
⑵ 理解勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項積分定理、列維定理和法都引理，并掌握它
們的應用。
⑶ 知道勒貝格積分與黎曼積分的關系。
⑷ 知道直積、截面的概念及性質，熟識勒貝格積分的幾何意義.，了解富比尼定理。
3. 重點、難點
重點 勒貝格積分的性質，積分極限定理。
難點 勒貝格積分的性質及其應用。
第二部分：常微分方程
第一章 緒論
1. 考試內容
某些物理過程的數學模型、基本概念。
2．考試要求
向學生介紹微分方程的輪廓。
3．重點與難點
基本概念、導出微分方程的例子。
§1.某些物理過程的數學模型
§2.基本概念
第二章 一階微分方程的初等解法
1. 考試內容
變量分離方程與變量變換、線性方程與常數變易法、恰當方程與積分因子、一階隱方程
與參數表示。
2．考試要求
要求學生學完本章后能迅速區分方程的類型，并根據方程的類型用相應的方法熟練地求
出通解。3．重點與難點
變量變換與變量分離方程、線性方程與常數變易法、恰當方程與積分因子。
§1.變量分離方程與變量變換
§2.線性方程與常數變易法
§3.恰當方程與積分因子
§4.一階隱方程與參數表示
第三章 一階微分方程的解的存在定理
1. 考試內容
解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓、解對初值的連續性和可微性定理、奇解。
2．考試要求
要求熟悉定理的內容和存在唯一性定理的證明，要求掌握逐步逼近法與Gronwall引理。
3．重點與難點
解的存在唯一性定理與逐步逼近法。
§1.解的存在唯一性定理與逐步逼近法
§2.解的延拓
§3.解對初值的連續性和可微性定理
§4.奇解
第四章 高階微分方程
1. 考試內容
線性微分方程的一般理論、常系數線性方程的解法、高階方程的降階和冪級數解法。
2．考試要求
要求熟練的掌握解的基本定理和常系數方程的解法。
3．重點與難點
常系數方程的解法，冪級數解法。
§1.線性微分方程的一般理論
§2.常系數線性方程的解法
§3.高階方程的降階和冪級數解法
第五章線性微分方程組
1. 考試內容
線性微分方程組的一般理論，常系數微分方程組。
2．考試要求
掌握方程組的基本定理和常系數方程組的解法。
3．重點與難點
常系數方程組的解法。
§1.存在唯一性定理
§2.線性微分方程組的一般理論
§3.線性微分方程組的一般理論
第三部分：概率論與數理統計
第一章 概率論的基本概念
1. 考試內容
§1 隨機試驗。
§2 樣本空間、隨機事件：樣本空間，隨機事件，事件間的關系及其運算。
§3 頻率與概率：頻率及其性質，概率的定義，概率的性質。
§4 等可能概型（古典概型）。
§5 條件概率：條件概率，乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式。
§6 獨立性。
2. 考試要求
⑴ 掌握：事件的關系與運算，概率的性質，等可能概型，乘法公式，全概率公式和
貝葉斯公式，會用它們解答相關的問題。
⑵ 熟悉：隨機事件；概率、條件概率、事件的獨立性的概念。
⑶ 了解：隨機試驗、樣本空間的概念
3. 重點、難點
重點：事件的關系與運算，概率的性質，古典概型，條件概率，全概率公式和貝葉斯公
式；事件的獨立性。
難點：全概率公式和貝葉斯公式；
第二章 隨機變量及其分布
1. 考試內容
§1 隨機變量
§2 離散型隨機變量：離散型隨機變量及其分布律，常用分布（0-1 分布，伯努利試驗、
二項分布，泊松分布）
§3 隨機變量的分布函數：分布函數及其性質，離散型隨機變量的分布函數。
§4 連續型隨機變量其概率密度：連續型隨機變量及其概率密度，常用分布（均勻分布，
指數分布，正態分布）。
§5 隨機變量函數的分布：離散型隨機變量函數的分布，連續型隨機變量函數的分布。
2. 考試要求
⑴ 掌握： 隨機變量的分布律、分布函數、密度函數的基本性質，隨機變量函數的分
布，會用它們解答相關的問題。
⑵ 熟悉： 隨機變量的分布律、分布函數、密度函數、隨機變量函數的概念；常用分布
（0-1 分布，二項分布，泊松分布，均勻分布，指數分布，正態分布）；標準正態分布表的
使用。
⑶ 了解：隨機變量的概念；常用分布相關信息、二項分布、泊松分布與正態分布的漸
近關系。
3. 重點、難點
重點：隨機變量的分布律、分布函數、密度函數的基本性質；常用分布；隨機變量函數
的分布。
難點：隨機變量函數的分布。
第三章 多維隨機變量及其分布
1. 考試內容
§1 二維隨機變量：二維隨機變量及其聯合分布函數，二維離散型隨機變量的聯合分布
律，二維連續型隨機變量及其聯合概率密度，n 維隨機變量及其分布函數
§2 邊緣分布：二維離散型隨機變量的邊緣分布律，二維連續型隨機變量及其邊緣概率
密度。
§3 條件分布：二維離散型隨機變量的條件分布律，二維連續型隨機變量及其條件概率
密度。
§4 相互獨立的隨機變量。
§5 兩個隨機變量的函數的分布：X+Y 的分布，max(X,Y)與 min(X,Y)的分布。
2. 考試要求
⑴ 掌握：兩個隨機變量的聯合分布、聯合分布律、聯合概率密度與其邊緣分布、邊緣
分布率、邊緣概率密度的關系；隨機變量獨立的條件；二維均勻分布和二維正態分布。
⑵ 熟悉：隨機變量的聯合分布函數的概念和基本性質；相互獨立的隨機變量概念，
⑶ 了解：條件分布，二維隨機變量的函數的分布，
3. 重點、難點
重點：兩個隨機變量的聯合分布的邊緣分布；隨機變量獨立的條件；二維均勻分布和二
維正態分布
難點：二維隨機變量的函數的分布。
第四章 隨機變量的數字特征
1. 考試內容
§1 數學期望：數學期望的定義，隨機變量函數的數學期望，數學期望的性質。
§2 方差：方差、標準差的定義，方差的性質，切比雪夫不等式。
§3 協方差及相關系數。
§4 矩、協方差矩陣。
2. 考試要求
⑴ 掌握： 0—1）分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、正態分布、指數分布的數字
特征，隨機變量函數的期望，期望、方差的性質，切比雪夫不等式。
⑵ 熟悉；隨機變量數字特征的概念，協方差及相關系數的意義和計算。
⑶ 了解：矩、協方差矩陣。
3. 重點、難點
重點：常用分布的數字特征，隨機變量函數的期望，期望、方差的性質，切比雪夫不等
式，協方差及相關系數。
難點：隨機變量函數的期望， 矩、協方差矩陣。
第五章大數定律及中心極限定理
1. 考試內容
§1 大數定律
§2 中心極限定理
2. 考試要求
了解：大數定律及中心極限定理。
3. 重點、難點
重點：大數定律及中心極限定理
難點：大數定律及中心極限定理。
第六章 抽樣分布
1. 考試內容
§1 隨機樣本
§2 抽樣分布：統計量，抽樣分布，個重要抽樣分布( ?
2
分布, t 分布, F 分布)，正態
總體的樣本均值與樣本方差的分布。
2. 考試要求
⑴ 掌握：正態總體的樣本均值與樣本方差的分布。
⑶ 熟悉：總體, 個體, 樣本, 統計量概念，常用統計量，抽樣分布分位點的概念，會
查表求分位點。
⑶ 了解：抽樣分布，?2
分布、t 分布、F 分布的定義及相關性質。
3. 重點、難點
重點：總體, 個體, 樣本, 統計量概念，常用統計量，三個重要抽樣分布，正態總體的
樣本均值與樣本方差的分布。
難點：抽樣分布。
第七章 參數估計
1. 考試內容
§1 點估計：矩估計法,最大似然估計法。
§2 基于截尾樣本的最大似然估計
§3 估計量的評選標準：無偏估計量，有效性，相合性。
§4 區間估計。
§5 正態總體的均值與方差的區間估計：均值?的置信區間，方差?的置信區間；兩個
正態總體均值差的置信區間，方差比的置信區間。
§6 0-1 分布參數的區間估計。
§7 單側置信區間
2. 考試要求
⑴ 掌握：矩法估計和極大似然估計法，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，
會驗證估計量的無偏性。
⑶ 熟悉：參數的點估計、置信區間的概念，估計量的無偏性概念。
⑶ 了解：基于截尾樣本的最大似然估計，有效性（最小方差性）和一致性（相合性）
的概念，0-1 分布參數的區間估計，單側置信區間。
3. 重點、難點
重點：矩法估計和極大似然估計法，單個正態總體均數與方差的區間估計方法。
難點：極大似然比法，估計量的評選標準。
第八章 假設檢驗
1. 考試內容
§1 假設檢驗
§2 正態總體均值的假設檢驗：單個正態總體的 z 檢驗，t 檢驗；兩個正態總體的 t 檢
驗；
§3 正態總體方差的檢驗：單個正態總體的?
2
檢驗，兩個正態總體的 F 檢驗。
§4 置信區間與假設檢驗之間的關系
§5 樣本容量的選取
§6 分布擬合檢驗：?2
擬合檢驗法，偏峰、峰度檢驗。
§7 秩和檢驗
2. 考試要求
⑴ 掌握：正態總體均值、方差的假設檢驗法。
⑵ 熟悉：假設檢驗的基本概念、基本思想方法。
⑶ 了解：置信區間與假設檢驗之間的關系，假設檢驗可能產生的兩類錯誤，分布擬合
檢驗，秩和檢驗。
3. 重點、難點
重點：正態總體均值、方差的假設檢驗法。
難點：假設檢驗可能產生的兩類錯誤。
參考教材或主要參考書：
《概率論與數理統計》，梁之舜等編，高等教育出版社
《實變函數與泛函分析基礎》（第二版）程其襄 張奠宙 魏國強 胡善文 王漱石 編
高等教育出版社 2003 年 7 月第 2 版
《實變函數論》（第二版）江澤堅吳智泉編高等教育出版社 1994 年 6 月第 2 版；
《實變函數論》徐榮權金長澤主編遼寧人民出版社 1984 年 10 月第 1 版；
《實變函數與泛函分析概要》鄭維行 王聲望編高等教育出版社 1989 年 5 月第 2 版；
《常微分方程》，王高雄等編，高等教育出版社
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