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海南師范大學 2017 年碩士研究生入學考試初試科目
考 試 大 綱
科目名稱: 實變函數
適用專業: 數學各專業
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。
二、考查目標（復習要求）
全日制攻讀碩士學位研究生入學考試實變函數科目考試內容包括實變函數一門學科基
礎課程，要求考生系統掌握相關學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并能運用相關理論
和方法分析、解決相關的實際問題。
三、考試內容概要
第一章 集合
1. 考試內容
§1 集合概念：集合的描述與表示，子集，集合的相等。
§2 集合的運算：集合的并、交、差、補運算及其性質，笛·摩根公式：上限集、下限
集及其性質。
§3 對等與基數：映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質；對等及其性質；基數與
基數的比較，伯恩斯坦定理。
§4 可數集合：可數集的定義及等價條件，可列集及其性質，可列集的判斷證明。
§5 不可數集合: 不可數集的存在性, 連續基數及其性質，連續基數的判斷證明，基數
無最大者。
2. 考試要求
⑴ 理解集合的并、交、差、補、上限集于下限集等概念，熟練掌握集合的各種運算，
掌握證明集合間包含與相等關系的一般方法。
⑵ 了解基數的概念，掌握證明兩個集合對等的方法，會用伯恩斯坦定理，理解有限集
與無限集的特征。
⑶ 理解可數集與具有連續基數的集的概念及其性質，掌握可數集, 連續基數的判斷證
明方法。
3. 重點、難點
重點 集合的運算及其運性質，集合的對等，基數的比較，可數集與具有連續基數的集
合的性質。
難點上限集、下限集、可數集, 連續基數的判斷證明。
第二章 點集
1. 考試內容
§1 度量空間，n 維歐氏空間：度量空間概念、鄰域及其性質、收斂點列、點集的距離
與直徑、區間概念。
§2 聚點，內點，界點：內電，外點，邊界點，聚點及孤立點，聚點及其等價條件，邊
界，內核、導集與閉包概念及其簡單性質。Bolzano-Weierstrass 定理，
§3 開集、閉集、完備集：開集與閉集的及其運算性質，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，
緊集、自密集與完備集。
§4. 直線上的開集、閉集和完備集的構造：直線上開集、閉集、完備集的構造。
平面上開集的構造，康托（Cantor）集的構造與性質。
2. 考試要求
⑴ 理解鄰域、內點、聚點、開集、閉集等基本概念及聚點的等價條件，
⑵ 熟練掌握開集、閉集的性質，掌握開集、閉集的判斷證明方法。了解直線上開集的
構造，知道直線上閉集和完備集的構造。
⑶ 了解 Bolzano-Weierstarss 定理，Borel 有限覆蓋定理。
⑷ 了解 Cantor 集的構造及其性質。
3. 重點、難點
重點 聚點及其等價條件，Bolzano-Weierstrass 定理，直線上開集的構造，Borel 有限
覆蓋定理，Cantor 集。
難點 聚點、內點、開集、閉集、完備集等概念，Cantor 集的構造及其性質。
第三章、測度論
1. 考試內容
§1 外測度：外測度及其性質，
§2 可測集：可測集的定義，卡拉皆屋獨利條件，可測集的運算性質，單調可測集列極
限的測度。
§3 可測集類：區間、開集、閉集皆可測、G6 型集，F?型集，可測集同開集、閉集、G6
型集、F?型集之間的關系。
2. 考試要求
⑴ 了解勒貝格外測度的定義及主要性質。
⑵ 理解勒貝格可測集的定義并掌握其運算。
⑶ 理解勒貝格測度的可列可加性以及單調可測集列極限的測度。
⑷ 了解常見的可測集合,知道勒貝格可測集與開集、閉集、G6 型集與 F?型集之間的關
系。
3. 重點、難點
重點 勒貝格可測集的運算性質，單調可測集列極限的測度，可測集同開集、閉集、G6 型
集以及 F?型集之間的關系。
難點 可測集概念的引入與可測集的構造。
第四章、可測函數
1. 考試內容
§1 可測函數及其性質：點集上的函數：廣義實數系 R=R∪(±∞)的運算?？蓽y函數的
定義及等價條件，連續函數與簡單函數皆可測，可測函數關于代數運算和極限運算的封閉性，
可測函數同簡單函數列的關系，“幾乎處處”的概念。
§2 葉果洛夫定理：可測函數列的收斂性, 葉果洛夫定理。
§3 可測函數的構造：魯金定理（兩種形式）
§4 依測度收斂：依測度收斂，依測度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定
理，黎斯定理，依測度收斂極限的唯一性。
2. 考試要求
⑴ 了解點集上的連續函數、函數列的上極限與下極限、“幾乎處處”等概念。
⑵ 理解可測函數的定義及其在代數運算與極限運算下的封閉性，可測函數可表為簡單
函數列的極限。
⑶ 了解魯金定理，知道可測函數同連續函數之間的關系。
⑷ 理解可測函數列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互
關系。
3. 重點、難點
重點 可測函數定義及等價條件，可測函數關于代數運算和極限運算的封閉性，依測度
收斂與幾乎處處收斂的關系，魯金定理。
難點 葉果洛夫定理，黎斯定理，魯金定理。
第五章、勒貝格積分
1. 考試內容
§5.1 黎曼積分：黎曼積分定義，達布定理，
§5.2 勒貝格積分的定義：測度有限集合上有界函數的勒貝格大和與小和，上積分與下
積分，有界勒貝格可積函數，有界可積的充要條件是有界可測，有界勒貝格可積函數的運算
性質，勒貝格積分與黎曼積分的關系。
§5.3 勒貝格積分的性質：有界函數積分的積分區域與被積函數的有限可加性，積分的
線性性質。積分的單調性與絕對可積性，
§5.4 一般可積函數：非負函數積分存在與可積的定義，一般函數積分存在與可積定義，
勒貝格積分的性質。
§5.5 積分的極限定理：勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數列積分定理，勒貝格逐項
積分定理，可積函數積分區域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關系。
§5.6 勒貝格積分的幾何意義. 富比尼定理：直積、截面的概念及性質，勒貝格積分的
幾何意義.，富比尼定理。
2. 考試要求
⑴ 理解勒貝格積分的定義及其基本性質，特別是絕對可積性和絕對連續性是勒貝格積
分的重要特征。
⑵ 理解勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項積分定理、列維定理和法都引理，并掌握它
們的應用。
⑶ 知道勒貝格積分與黎曼積分的關系。
⑷ 知道直積、截面的概念及性質，熟識勒貝格積分的幾何意義.，了解富比尼定理。
3. 重點、難點
重點 勒貝格積分的性質，積分極限定理。
難點 勒貝格積分的性質及其應用。
主要參考書：
《實變函數》，周民強編，北京大學出版社（第二版）
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