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海南師范大學 2017 年碩士研究生入學考試初試科目
考 試 大 綱
科目名稱: 復變函數
適用專業: 數學各專業
一、考試形式與試卷結構
（一）試卷滿分及考試時間
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。
二、考查目標（復習要求）
全日制攻讀碩士學位研究生入學考試復變函數科目考試內容包括復變函數一門學科基
礎課程，要求考生系統掌握相關學科的基本知識、基礎理論和基本方法，并能運用相關理論
和方法分析、解決相關的實際問題。
三、考試內容概要
第一章 復數
1、考試內容
復數的和與乘積，復數基本性質，復數的模，共扼復數，復數的指數形式，用指數形式
表示復數的乘積和商，復數的方根，復平面上的點和區域概念。
2、考試要求
熟悉復數的幾種表示法，復數的運算及其三角不等式的應用.復平面，復平面的點集，
區域。
3、重點和難點
重點：復數的表示，區域的概念。
難點：復數的方根。
第二章 復數復變函數
1、考試內容
復變函數，映射，指數函數下的映射，復變函數的極限，極限定理，關于無窮遠點的
極限，復變函數的連續，復變函數的導數定義，復變函數的微分，柯西黎曼等式，微分的充
分條件，極坐標下的柯西黎曼等式，函數的解析性，關于函數解析的例題，調和函數。
2、 考試要求
掌握復變函數的概念，能把復變函數理解為兩個復平面集合間的映射，能把一個復變函
數看成兩個實的二元函數；能精確的敘述復變函數的極限概念，并直觀的理解起意義；掌握
復變函數的連續性概念和基本性質；理解復變函數可導與解析的概念，弄清這兩個概念之間
的關系；熟練掌握解析函數的 C-R 條件.能運用次日條件判定函數的解析性；熟練掌握和運
用解析函數的求導與求導公式；理解擴充復平面和無窮遠點的概念。
3、重點與難點
重點：解析函數的定義、解析函數的充要條件和柯西黎曼等式。
難點：解析概念的理解。
第三章 初等函數
1、考試內容
指數函數，對數函數，對數函數的分支和導數，對數函數的一些性質，復指數，三角
函數，雙曲函數，反三角函數和雙曲函數。
2、考試要求
聯系中學教學、認識復變函數中各類基本初等函數與相應初等函數的異同。
3、重點與難點
重點：復變函數初等函數的特殊性質。
難點：多值函數的分支，支割線。
第四章 復變函數的積分
1、考試內容
導數定義，定積分的的概念，Contours，Contour 積分，原函數，柯西古莎定理，柯
西古莎定理的證明，單連通域和多連通域，柯西積分公式，解析函數的導數問題，劉維爾定
理和代數基本定理，最大模定理。
2、考試要求
理解復積分的概念；理解柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數公式，認識以上定
理和公式的作用，了解其證明方法；理解劉維爾定理、莫勒拉定理和代數基本定理，了解證
明方法；熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計算函數的各種積分。
3、重點與難點
重點：柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數公式。
難點：計算非解析函數沿積分路徑為非閉曲線的積分。
第五章 復變函數的級數
1、考試內容
復數序列的收斂，復級數的收斂，泰勒級數，羅朗級數，復冪級數的絕對一致收斂，
復冪級數和函數的連續性，冪級數的積分和微分，唯一性定理，冪級數的乘法和除法運算。
2、考試要求
理解一致收斂、內閉一致收斂、冪級數、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念；理解復
變函數項級數的逐項可導性，與微積分學的相應定理比較，認識其條件結論的強弱；熟練掌
握冪級數收斂半徑和收斂圓的求法；熟練掌握將函數在指定點展成冪級數的方法；掌握解析
函數零點和級別的求法。
3、重點與難點
重點：冪級數的收斂圓及收斂半徑的求法。將函數在一點展成冪級數的方法。解析函數的唯
一性定理。將函數展成羅朗級數的方法。
難點：利用已知的基本初等函數的展式將函數在指定點展成泰勒級數。
第六章 留數和極點
1、考試內容
留數，柯西的留數基本定理，孤立奇點的三種類型，極點的留數，解析函數的零點，
零點與極點，孤立點附近的函數的屬性。
2、考試要求
熟練掌握判斷奇點類別的方法；留數的概念與計算；留數基本定理。
3、重點與難點
重點：計算留數的方法，留數基本定理。
難點：孤立奇點類別的識別。
第七章 留數的應用
1、考試內容
留數的應用，留數在計算某些實積分中的應用，輻角定理及儒歇定理。
2、考試要求
掌握留數在計算某些實積分中的應用，理解輻角定理及儒歇定理。
3、重點與難點
重點：留數的應用。
難點：輻角定理及儒歇定理。
參考教材或主要參考書：
《復變函數》，鐘玉泉編，高等教育出版社
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