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應用數學——專業綜合 考試基本要求
第一部分 數學物理方程
一、一維波動方程
要求掌握： 一維波動方程的建立；定解問題的提出；齊次方程混合問題的 Fourier 解
法（分離變量法）；電報方程；強迫振動，非齊次方程的求解。
二、熱傳導方程
要求掌握：熱傳導方程的建立；熱傳導方程的 Fourier 級數解；初值問題的 Fourier
積分解；一端有界的熱傳導問題。
三、調和方程圓的邊值問題
要求掌握：圓的 Dirichlet 問題的提法； Fourier 級數解； 函數的引入、性質
四、波動方程
要求掌握：初值問題達 D’Alembert 解的提出；解的物理意義；依賴區間、決定區域和
影響區域。高維波動方程的初值問題；降維法；解的物理意義；非齊次波動方程；推遲勢。
五、調和方程解的積分公式
要求掌握：Green 公式；調和函數的基本性質；調和方程球的 Dirichlet 問題的積分公
式；Green 函數；Laplace 方程 Dirichlet 問題解的 Green 函數表示；Poisson 方程的導出；
Poisson 方程 Green 問題的積分公式。
六、定解問題的適定性
要求掌握：適定性的定義和反向問題的不適定性。
第二部分 復變函數
一、復數與復變函數
理解復數、區域、單連通區域、多連通區域、約當曲線、光滑（逐段光滑）曲線、無窮
遠點、擴充復平面等概念；理解復數的性質，掌握復數的運算，理解復數的模和輻角的性質；
理解并掌握復變函數極限與連續性的概念與性質。
二、解析函數
理解解析函數的定義、性質及其充分必要條件；了解函數在一點解析與函數在一點可
微的區別，熟練掌握利用 Cauchy-Riemann 條件判別解析函數的方法；掌握指數函數、三角
函數的定義和性質，注意與實指數函數、實三角函數的區別；了解初等多值函數單值化方法
（限制輻角或割破平面）；熟練掌握解析函數在單葉性區域內由初值確定終值；理解反三角
函數、一般冪函數、一般指數函數的定義與計算。
三、復變函數的積分
理解復積分的概念、性質，掌握復積分的計算方法；理解 Cauchy 積分定理，熟練掌握
利用 Cauchy 積分定理計算函數沿閉曲線的積分；理解 Cauchy 積分定理的推廣；理解 Cauchy
積分公式、高階導數公式，熟練掌握利用 Cauchy 積分公式、高階導數公式計算函數沿閉曲
線的積分；了解解析函數的無窮可微性；了解 Cauchy 不等式與 Liouville 定理，掌握其證
明方法；掌握利用 Morera 定理判斷解析函數的方法；熟練掌握已知解析函數的實部（或虛
部），求該解析函數的方法。
四、解析函數的冪級數表示法
了解復級數的基本概念；掌握復變函數項級數的收斂、一致收斂、內閉一致收斂的定義
及判別方法；理解解析函數項級數的和函數的性質；理解冪級數的斂散性；理解收斂圓、收
斂半徑的概念；了解冪級數和的解析性；理解解析函數的冪級數表示；熟練掌握一些初等函
數的泰勒展式；了解冪級數的和函數在收斂圓周上的奇點的存在性；理解解析函數的零點孤
立性、唯一性定理、最大模原理。
五、解析函數的 Laurent 展式與孤立奇點
了解雙邊冪級數的有關概念；了解 Laurent 定理，熟練掌握將解析函數分別在指定圓環
和孤立奇點去心鄰域內展成 Laurent 級數的方法；了解 Laurent 級數與 Taylor 級數的關系；
理解孤立奇點的概念，掌握判斷孤立奇點類型的方法；了解解析函數在孤立奇點去心鄰域內
的性質；掌握解析函數在無窮遠點的性質；了解整函數與亞純函數的概念。
六、 留數理論及其應用
理解留數的定義，熟練掌握留數的求法；理解留數定理，掌握利用 Cauchy 留數定理計
算函數沿閉曲線的積分；熟練掌握用留數定理計算實積分；了解對數留數的概念；理解輻角
原理、Rouche 定理，熟練掌握求解析函數在指定區域內的零點個數的方法。
七、共形映射
了解解析變換的特性（保域性、保角性、共形性）；理解分式線性變換的映射性質，掌
握將區域 D 共形映射為區域 G 的分式線形變換；了解冪函數、指數函數、根式函數、對數
函數的映射性質，掌握它們所構成的共形映射。
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