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南開大學碩士研究生入學考試
《數學分析》考試大綱
本《數學分析》考試大綱適用于南開大學數學學科（包括南開大學數學學院，陳省身數
學所，組合數學中心等）各專業碩士研究生入學考試。數學分析是一門具有公共性質的重要
的數學基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學（含廣義積分）、級數、多元微分學和
積分學（含參變量積分）等部分組成。要求考生能準確理解基本概念，理解數學分析的基本
理論，熟練掌握數學分析的各種運算，理解數學分析的基本思想和方法。 要求考生具有較
好的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的
能力。
采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。
考試內容：
1．分析基礎：
極限： 數列與函數極限的定義， 收斂數列的性質與極限的四則運算，數列斂散的判
別法， 函數極限的性質與運算法則，無窮大量與無窮小量，實數的基本理論
（包括：確界原理，柯西收斂原理，有限覆蓋定理，致密性原理，單調有界原
理，區間套定理等），上極限和下極限，多元函數的極限概念與性質。
連續函數： 連續函數及其性質， 初等函數的連續性，一致連續， 閉區間上連續函數
的性質，多元函數的連續性。
2．導數與微分：導數的概念，導函數的計算，高階導數， 微分，微分中值定理， 函數的
單調性和極值， 函數的凸性，洛必達法則，泰勒公式。
3．不定積分： 不定積分的概念， 換元積分法， 分部積分法，有理函數的積分， 三角函
數有理式的積分，和某些無理函數的積分。
4．定積分： 定積分的概念與計算， 定積分的性質，微積分基本定理，換元積分法。
定積分在幾何計算中的應用，
5．多元函數的微分學：偏導數概念與計算，全微分的概念，方向導數及梯度的性質，多元
函數的泰勒公式，隱函數存在定理，極值理論。
6．重積分：重積分的概念與性質，重積分的計算。
7．曲線積分與曲面積分： 第一型曲線積分，第二型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲
面積分，各種積分之間的聯系，曲線積分與路徑無關的條件。
8．數項級數： 級數收斂性的概念和基本性質，正項級數收斂差別法，任意項級數收斂差別
法。
9．廣義積分： 無限區間上的廣義積分，有限區間上無界函數的廣義積分。
10．一致收斂： 函數列的一致收斂性，一致收斂與極限換序。
11．函數項級數：函數項級數的一致收斂判別法，冪級數的性質，泰勒級數，函數的冪級數
展開，傅里葉級數的性質。
12．含參變量積分：含參變量的正常積分，含參變量的廣義積分。
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