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中央民族大學碩士研究生入學考試初試科目考試大綱
科目代碼：843 科目名稱：高等代數
Ⅰ.考查目標
高等代數考試主要目的是測試考生對高等代數基礎知識的掌握程度和應用相關知識解
決問題的能力。要求考生系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本
思想和解決問題方法，能夠運用所學的基本知識、基本理論和方法來分析問題和解決問題。
Ⅱ. 考試形式和試卷結構：
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘．
二、答題方式
閉卷、筆試．
三、試卷內容結構
行列式 、線性方程組 、矩陣、 二次型部分內容所占分值約 90 分
多項式 、線性空間 、線性變換、歐幾里得空間部分內容所占分值約 60 分
四、試卷題型結構 試卷題型結構為
計算題 8 小題，共 96 分
證明題 6 小題，共 54 分
Ⅲ.考試范圍
一、多項式
1．多項式的帶余除法及整除性、最大公因式、互素多項式；
2．不可約多項式、因式分解唯一性定理、重因式、復系數與實系數多項式的因式分解、有
理系數多項式不可約的判定；
3．多項式函數與多項式的根、有理系數多項式的有理根的求法。
二、行列式
1．行列式的定義及性質，行列式的子式、余子式及代數余子式；
2．行列式按一行、列的展開定理、Vandermonde 行列式、行列式的計算；
3．Cramer 法則。
三、線性方程組
1．Gauss 消元法與初等變換；
2．向量組的線性相關性、向量組的秩與極大線性無關組、矩陣的秩；
3．線性方程組有解的判別定理與解的結構。
四、矩陣
1．矩陣的基本運算、矩陣的分塊及常用分塊方法；
2．矩陣的初等變換、初等矩陣、矩陣的等價、矩陣的跡、方陣的多項式；
3．逆矩陣、矩陣可逆的條件及與矩陣的秩和初等矩陣之間的關系，伴隨矩陣及其性質；
4．運用初等變換法求向量組和矩陣的秩及逆矩陣。
五、二次型理論
1．二次型及其矩陣表示、矩陣的合同、二次型的標準形與規范形、慣性定理；
2．實二次型在非退化線性替換下的規范形以及在正交替換下的標準形的求法；
3．實二次型、實對稱矩陣的正定、半正定、負定、半負定的定義、判別法及其應用。
六、線性空間
1．線性空間、子空間的定義與性質，向量組的線性相關性，子空間的基、維數、向量關于
基的坐標，基變換與坐標變換，線性空間的同構；
2．子空間的基擴張定理，生成子空間，子空間的和與直和、維數公式；
七、線性變換
1．線性變換的定義、性質與運算，線性變換的矩陣表示，矩陣的相似、同一個線性變換關
于不同基的矩陣之間的關系；
2．矩陣的特征多項式、線性變換及其矩陣的特征值和特征向量的概念和計算、特征子空間、
實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質；
3．線性變換的不變子空間、核、值域的概念、關系及計算；
4．Hamilton-Caylay 定理、矩陣可相似對角化的條件與方法、線性變換矩陣的化簡。
八、歐氏空間
1．內積與歐氏空間的定義及性質，向量的長度、夾角、距離，正交矩陣，歐氏空間的同構，
正交子空間與正交補；
2．歐氏空間的度量矩陣、標準正交基、Schmidt 正交化方法；
3．正交變換與正交矩陣的等價條件，對稱變換的概念與性質；
4．實對稱矩陣的正交相似對角化的求法。
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