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西安電子科技大學數學分析考研大綱
一、考試總體要求與考試要點
1．考試對象
考試對象為具有全國碩士研究生入學考試資格并報考西安電子科技
大學理學院數學科學系碩士研究生的考生。
2．考試總體要求
測試考生對數學分析的基本內容的理解、掌握和熟練程度。要求考生
熟悉數學分析的基本理論、掌握數學分析的基本方法，具有較強的抽
象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。
3．考試內容和要點
(一) 實數集與函數
1、實數：實數的概念；實數的性質；絕對值不等式。
2、函數：函數的概念；函數的定義域和值域；復合函數；反函
數。
3、函數的幾何特性：單調性；奇偶性；周期性。
要求：理解和掌握絕對值不等式的性質，會求解絕對值不等式；
掌握函數的概念和表示方法，會求函數的定義域和值域，會證明具體
函數的幾何特性。
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(二) 數列極限
1、數列極限的概念（ N? ? 定義）。
2、數列極限的性質：唯一性；有界性；保號性。
3、數列極限存在的條件：單調有界準則；兩邊夾法則。
要求：理解和掌握數列極限的概念，會使用 N? ? 語言證明數列
的極限；掌握數列極限的基本性質、運算法則以及數列極限的存在條
件(單調有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數列極限；了解無
窮小量和無窮大量的概念性質和運算法則，會比較無窮小量與無窮大
量的階。
(三) 函數極限
1、函數極限的概念（? ?? 定義、 X? ? 定義）；單側極限的概念。
2、函數極限的性質：唯一性；局部有界性；局部保號性。
3、函數極限存在的條件：海涅歸結原則。
4、兩個重要極限。
要求：理解和掌握函數極限的概念，會使用? ?? 語言以及 X? ? 語
言證明函數的極限；掌握函數極限的基本性質、運算法則，會使用海
涅歸結原理證明函數極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來
求極限；了解單側極限的概念以及求法。
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(四) 函數連續
1、函數連續的概念：一點連續的定義；區間連續的定義；單側
連續的定義；間斷點的分類。
2、連續函數的性質：局部性質及運算；閉區間上連續函數的性
質（最值性、有界性、介值性、一致連續性）；復合函數的連續性；
反函數的連續性。
3、初等函數的連續性。
要求：理解與掌握函數連續性、一致連續性的定義以及它們的區
別和聯系，會證明具體函數的連續以及一致連續性；理解與掌握函數
間斷點的分類；能正確敘述并簡單應用閉區間上連續函數的性質；了
解反函數、復合函數以及初等函數的連續性。
（五） 實數系六大基本定理及應用
1、實數系六大基本定理：確界存在定理；單調有界定理；閉區
間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。
2、閉區間上連續函數性質的證明：有界性定理的證明；最值性
定理的證明；介值性定理的證明；一致連續性定理的證明。
要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數集的上、下確
界；理解和掌握閉區間上連續函數性質及其證明；能正確敘述實數系
六大基本定理的內容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構造區
間套進行簡單證明。
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（六） 導數與微分
1、導數概念：導數的定義；單側導數；導數的幾何意義。
2、求導法則：初等函數的求導；反函數的求導；復合函數的求
導；隱函數的求導；參數方程的求導；導數的運算(四則運算)。
3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應用。
4、高階導數與高階微分。
要求：能熟練地運用導數的運算性質和求導法則求具體函數的
（高階）導數和微分；理解和掌握可導與可微、可導與連續的概念及
其相互關系；掌握左、右導數的概念以及分段函數求導方法，了解導
函數的介值定理。
（七） 微分學基本定理
1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定
理。
2、泰勒公式。
要求：理解和掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公
式及在近似計算中的應用，能夠把某些函數按泰勒公式展開
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（八） 導數的應用
1、函數的單調性與極值。
2、函數凹凸性與拐點。
3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達法則。
要求：理解和掌握函數的單調性和凹凸性，會使用這些性質求函
數的極值點以及拐點；能根據函數的單調性、凹凸性、拐點、漸近線
等進行作圖；能熟練地運用洛必達法則求未定式的極限。
（九） 不定積分
1、不定積分概念。
2、換元積分法與分部積分法。
3、有理函數的積分。
要求：理解和掌握原函數和不定積分概念以及它們的關系；熟記
不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數、
有理函數、三角函數的不定積分。
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（十） 定積分
1、定積分的概念；定積分的幾何意義。
2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達布上和
與達布下和；可積函數類(連續函數，只有有限個間斷點的有界函數，
單調函數)。
3、定積分的性質：四則運算；絕對值性質；區間可加性；不等
式性質；積分中值定理。
4、定積分的計算：變上限積分函數；牛頓-萊布尼茲公式；換元
公式；分部積分公式。
要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數類；熟
練掌握和運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積
分。
（十一） 定積分的應用
1、定積分的幾何應用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲
線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉體的體積；求旋轉曲面的
面積。
2、定積分的物理應用：求質心；求功；求液體壓力。
要求：理解和掌握"微元法"；掌握定積分的幾何應用；了解定積
分的物理應用。
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（十二） 數項級數
1、預備知識：上、下極限；無窮級數收斂、發散的概念；收斂
級數的基本性質；柯西收斂原理。
2、正項級數：比較判別法；達朗貝爾判別法；柯西判別法；積
分判別法。
3、任意項級數：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質；交錯級
數與萊布尼茲判別法；阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
要求：理解和掌握正項級數的收斂判別法以及交錯級數的萊布尼
茲判別法；掌握一般項級數的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解
上、下極限的概念和性質以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質。
（十三） 反常積分
1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反
常積分的斂散性判別法。
2、無界函數的反常積分：無界函數的反常積分的概念；無界函
數的反常積分的斂散性判別法。
要求：理解和掌握反常積分的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂
的概念；掌握反常積分的柯西收斂準則，會判斷某些反常積分的斂散
性。
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（十四） 函數項級數
1、一致收斂的概念。
2、一致收斂的性質：連續性定理；可積性定理；可導性定理。
3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判
別法。
要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質及其證明；能夠熟練地
運用 M-判別法判斷一些函數項級數的一致收斂性。
（十五） 冪級數
1、冪級數的概念以及冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域。
2、冪級數的性質。
3、函數展開成冪級數。
要求：理解和掌握冪級數的概念，會求冪級數的和函數以及它的
收斂半徑、收斂區間、收斂域；掌握冪級數的性質以及兩種將函數展
開成冪級數的方法，會把一些函數直接或者間接展開成冪級數。
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（十六） 傅里葉級數
1、傅里葉級數：三角函數系的正交性；傅里葉系數。
2、以2? 為周期的函數的傅里葉級數。
3、以 2L 為周期的傅里葉級數。
4、收斂定理的證明。
5、傅里葉變換。
要求：理解和掌握三角函數系的正交性與傅里葉級數的概念；掌
握傅里葉級數收斂性判別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解
收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質。
（十七） 多元函數極限與連續
1、平面點集與多元函數的概念。
2、二元函數的二重極限、二次極限。
3、二元函數的連續性。
要求：理解和掌握二元函數的二重極限、二次極限的概念以及它
們之間的關系，會計算一些簡單的二元函數的二重極限和二次極限；
掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區
域上多元連續函數的性質。
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（十八） 多元函數的微分學
1、偏導數與全微分：偏導數與全微分的概念；可微與可偏導、
可微與連續、可偏導與連續的關系。
2、復合函數求偏導數以及隱函數求偏導數。
3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。
4、方向導數與梯度。
5、多元函數的泰勒公式。
6、極值和條件極值
要求：理解和掌握偏導數、全微分、方向導數、梯度的概念及其
計算；掌握多元函數可微、可偏導和連續之間的關系；會求空間曲線
的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數的極值、最
值；了解多元泰勒公式。
（十九） 隱函數存在定理、函數相關
1、隱函數：隱函數存在定理；反函數存在定理；雅克比行列式。
2、函數相關。
要求：了解隱函數的概念及隱函數存在定理，會求隱函數的導數；
了解函數行列式的性質以及函數相關。
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（二十） 含參變量積分以及反常積分
1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導交換次序；
兩個個積分號交換次序。
2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致
收斂的判別法；歐拉積分、? 函數、? 函數。
要求：理解和掌握積分號下求導數的方法；掌握? 函數、? 函數
的性質及其相互關系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致
收斂的判別法。
（二十一） 重積分
1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質。
2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算
二重積分；用一般變換計算二重積分。
3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算
三重積分；用球面坐標計算三重積分。
4、重積分應用：求物體的質心、轉動慣量；求立體體積，曲面
的面積；求引力。
要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會
選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計
算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導。
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（二十二） 曲線積分與曲面積分
1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質與計算；第
一類曲線積分的對稱性。
2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質與計算；兩
類曲線積分的聯系。
3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質與計算；第
一類曲面積分的對稱性。
4、第二類曲面積分：曲面的側；第二類曲面積分的概念、性質
與計算；兩類曲面積分的聯系。
5、格林公式：曲線積分與路徑的無關的四種等價敘述。
6、高斯公式。
7、斯托克斯公式。
8、場論初步：梯度；散度；旋度。
要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質與計算，
會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高
斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲
線積分及曲面積分的區別和聯系；了解斯托克斯公式和場論初步。
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二、考試形式與試卷結構
1. 考試時間
180 分鐘。
2．試卷分值
150 分。
3．考試方式
閉卷考試。
4．題型結構：
類型包括：選擇題、填空題、計算題、證明題。
三、推薦教材參考書目
【1】 歐陽光中等主編 《數學分析》（第三版）高等教育出版社
【2】 華東師范大學數學系主編 《數學分析》（第三版）高等教育
出版社
【3】 陳紀修等主編《數學分析》（第二版）高等教育出版社
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