2017年江西理工大學數學考研大綱

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0701 數學
業務課（自命題）考試大綱、考試題型及分值分布
（1）《數學分析》考試大綱
一、總體要求
數學分析是一門具有公共性質的重要的數學基礎課程，由分析基礎、一元微
分學和積分學、級數、多元微分學和積分學等部分組成。要求考生比較系統地理
解數學分析的基本概念和基本理論，掌握數學分析的基本思想和方法。要求考生
具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和
解決問題的能力。
二、考試知識點及考核要求
(一) 實數集與函數
1、實數：實數的概念，實數的性質，絕對值與不等式;
2、數集、確界原理：區間與鄰域，有界集與無界集，上確界與下確界，確界原理;
3、函數概念：函數的定義，函數的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數；
4、具有某些特征的函數：有界函數，單調函數，奇函數與偶函數，周期函數。
要求：了解數學的發展史與實數的概念，理解絕對值不等式的性質，會解絕對值不等式；
弄清區間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數集的確界；
掌握函數的定義及函數的表示法，了解函數的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數。
(二) 數列極限
1、極限概念；
2、收斂數列的性質：唯一性，有界性，保號性，單調性；
3、數列極限存在的條件：單調有界準則，迫斂性法則，柯西準則。
要求：逐步透徹理解和掌握數列極限的概念；掌握并能運用 ?-N 語言處理極限問題；掌
握收斂數列的基本性質和數列極限的存在條件(單調有界函數和迫斂性定理)，并能運用；了
解數列極限柯西準則,了解子列的概念及其與數列極限的關系；了解無窮小數列的概念及其
與數列極限的關系.
(三) 函數極限
1、函數極限的概念，單側極限的概念；
2、函數極限的性質：唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性；
3、函數極限存在的條件：歸結原則（Heine 定理），柯西準則；
4、兩個重要極限；
5、無窮小量與無窮大量，階的比較。
要求：理解和掌握函數極限的概念；掌握并能應用 ?-?, ?-X 語言處理極限問題；了解
函數的單側極限，函數極限的柯西準則；掌握函數極限的性質和歸結原則；熟練掌握兩個重
要極限處理極限問題。
(四) 函數連續
1、函數連續的概念：一點連續的定義，區間連續的定義，單側連續的定義，間斷點及
其分類；
2、連續函數的性質：局部性質及運算，閉區間上連續函數的性質（最大最小值性、有
界性、介值性、一致連續性），復合函數的連續性，反函數的連續性；
3、初等函數的連續性。
要求：理解與掌握一元函數連續性、一致連續性的定義及其證明，理解與掌握函數間斷
點及其分類，連續函數的局部性質；理解單側連續的概念；能正確敘述和簡單應用閉區間上
連續函數的性質；了解反函數的連續性，理解復合函數的連續性，初等函數的連續性。
（五）導數與微分
1、導數概念：導數的定義、單側導數、導函數、導數的幾何意義；
2、求導法則：導數公式、導數的運算(四則運算)、求導法則（反函數的求導法則，復
合函數的求導法則，隱函數的求導法則，參數方程的求導法則）；
3、微分：微分的定義，微分的運算法則，微分的應用；
4、高階導數與高階微分。
要求：理解和掌握導數與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運用導數的運算性質
和求導法則求函數的導數；理解單側導數、可導性與連續性的關系，高階導數的求法；了解
導數的幾何應用，微分在近似計算中的應用。
（六）微分學基本定理
1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
*
；
2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；
3、泰勒公式。
要求：掌握中值定理的內容、證明及其應用；了解泰勒公式及在近似計算中的應用，能
夠把某些函數按泰勒公式展開；能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限
（七）導數的應用
1、函數的單調性與極值；
2、函數凹凸性與拐點.
要求：了解和掌握函數的某些特性(單調性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，
能利用函數的特性解決相關的實際問題。
（八）實數完備性定理及應用
1、實數完備性六個等價定理：閉區間套定理、單調有界定理、柯西收斂準則、確界存
在定理、聚點定理、有限覆蓋定理；
2、閉區間上連續函數整體性質的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，
介值性定理的證明，一致連續性定理的證明；
3、上、下極限
*
。
要求：了解實數連續性的幾個定理和閉區間上連續函數的性質的證明；理解聚點的概念，
上、下極限的概念。
（九）不定積分
1、不定積分概念；
2、換元積分法與分部積分法；
3、幾類可化為有理函數的積分；
要求：理解原函數和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、
簡單無理式和三角有理式積分法。
（十）定積分
1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數可積的必要條件；
2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達布上和與達布下和，可積函數類(連續
函數，只有有限個間斷點的有界函數，單調函數)；
3、微積分學基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；
4、非正常積分：無窮積分收斂與發散的概念，審斂法（柯西準則，比較法，狄利克雷
與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發散的概念，收斂判別法。
要求：理解定積分概念及函數可積的條件；熟悉一些可積分函數類，會一些較簡單的可
積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積
分法，分部積分法計算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概
念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。
（十一）定積分的應用
1、定積分的幾何應用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數的立體體積，旋
轉體的體積平面曲線的弧長與微分，曲率；
2、定積分在物理上的應用：功、液體壓力、引力。
要求：重點掌握定積分的幾何應用；掌握定積分在物理上的應用；理解并掌握"微元法"。
（十二）數項級數
1、級數的斂散性：無窮級數收斂，發散等概念，柯西準則，收斂級數的基本性質；
2、正項級數：比較原理，達朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；
3、一般項級數：交錯級數與萊布尼茲判別法，絕對收斂級數與條件收斂級數及其性質，
阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。
要求：理解無窮級數的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數的性質；
能夠應用正項級數與任意項級數的斂散性判別法判斷級數的斂散性；熟悉幾何級數調和級數
與 p 級數。
（十三）函數項級數
1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準則，優級數判別法，狄利克雷與阿貝爾判別
法）；
2、一致收斂的函數列與函數項級數的性質（連續性，可積性，可微性）。
要求：掌握收斂域、極限函數與和函數一致收斂等概念；掌握極限函數與和函數的分析
性質(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數項級數與函數列的一致收斂。
（十四）冪級數
1、冪級數：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區間，冪級數的一致收斂性，冪級數和函數
的分析性質；
2、幾種常見初等函數的冪級數展開與泰勒定理。
要求：了解冪級數，函數的冪級數及函數的可展成冪級數等概念；掌握冪級數的性質；
會求冪級數的收斂半徑與一些冪級數的收斂域；會把一些函數展開成冪級數，包括會用間接
展開法求函數的泰勒展開式
（十五）付里葉級數
1、付里葉級數：三角函數與正交函數系, 付里葉級數與傅里葉系數, 以２? 為周期函
數的付里葉級數, 收斂定理；
2、以 2L 為周期的付里葉級數；
3、收斂定理的證明。
要求：理解三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念；掌握傅里葉級數收斂性判
別法；能將一些函數展開成傅里葉級數；了解收斂定理的證明。
（十六）多元函數極限與連續
1、平面點集與多元函數的概念；
2、二元函數的極限、累次極限；
3、二元函數的連續性：二元函數的連續性概念、連續函數的局部性質及初等函數連續
性。
要求：理解平面點集、多元函數的基本概念；理解二元函數的極限、累次極限、連續性
概念，會計算一些簡單的二元函數極限；了解閉區域套定理，有限覆蓋定理，多元連續函數
的性質。
（十七）多元函數的微分學
1、可微性：偏導數的概念，偏導數的幾何意義，偏導數與連續性；全微分概念；連續
性與可微性，偏導數與可微性；
2、多元復合函數微分法及求導公式；
3、方向導數與梯度；
4、泰勒定理與極值。
要求：理解并掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數及極值等概念及其計算；弄
清全微分、偏導數、連續之間的關系；了解泰勒公式；會求函數的極值、最值。
（十八）隱函數定理及其應用
1、隱函數：隱函數的概念，隱函數的定理，隱函數求導舉例；
2、隱函數組：隱函數組存在定理，反函數組與坐標變換，雅可比行列式；
3、幾何應用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法
線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。
要求：了解隱函數的概念及隱函數的存在定理，會求隱函數的導數；了解隱函數組的概
念及隱函數組定理，會求隱函數組的偏導數；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切
平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。
（十九）重積分
1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數，二重積分的性質；
2、二重積分的計算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；
3、含參變量的積分；
4、三重積分計算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球坐
標變換）；
5、重積分應用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉動慣量；
6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，
一致收斂的判別法(柯西準則，與函數項級數一致收斂性的關系，一致收斂的 M 判別法)，含
參變量非正常積分的分析性質；
7、歐拉積分
*
：格馬函數及其性質,貝塔函數及其性質。
要求：了解含參變量定積分的概念與性質；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質、計
算及基本應用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積
分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應用；了解歐拉積分。
（二十）曲線積分與曲面積分
1、第一型曲線積分的概念、性質與計算，第一型曲面積分的的概念、性質與計算；
2、第二型曲線積分的概念、性質與計算，變力作功，兩類曲線積分的聯系；
3、格林公式，曲線積分與路線的無關性, 全微分；
4、第二型曲面積分概念及性質與計算，兩類曲面積分的關系;
5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無關性；
6、場論初步
*
：
*
場的概念，梯度，
*
散度和旋度。
要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質及計算；了解兩類曲線積分的關系和
兩類曲面積分的關系；熟練掌握格林公式的證明及其應用，會利用高斯公式、斯托克斯公式
計算一些曲面積分與曲線積分；了解場論的初步知識。
三、考試題型及比例
計算題： 60%左右；證明題： 40%左右
四、考試形式及時間
考試形式為閉卷筆試，試卷總分值為 150 分，考試時間為三小時。
五、主要參考教材
教材：《數學分析》第四版，華東師范大學編著，上、下冊，高等教育出版社，
2010 年 7 月
參考書：《數學分析》第二版，復旦大學數學系，陳傳璋等，1983 年 7 月
劉玉璉、傅沛仁編數學分析講義北京：高等教育出版社，1992 年 6
月第 3 版
《數學分析學習指導書》上、下冊，吳良森等編，高等教育出版社，
2004 年 9 月
（2）《高等代數》考試大綱
一、總體要求
高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業
學生的必修基礎課。它的主要內容包括多項式、行列式和線性方程組、矩陣及其
標準形、特征值和特征向量、線性變換和矩陣范數。要求考生比較系統地理解高
等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有
抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決
問題的能力。
二、考試知識點及考核要求
（一）多項式
考試內容
數域有理數域實數域復數域等概念一元多項式的概念及其計算多項式的整除因
式公因式最大公因式互素用輾轉相除法求最大公因式不可約多項式可約多項式因
式分解及唯一性定理多項式的導數重因式單因式根重根單根多項式有重因式的判別
方法代數學基本定理實數域、復數域上多項式因式分解定理求有理系數多項式的全部有
理根
考試要求
1.了解數域、有理數域、實數域、復數域等概念。
2.了解一元多項式的概念及其計算。
3.了解多項式的整除、因式、公因式、最大公因式、互素的概念。
4.會用輾轉相除法求最大公因式。
5.了解不可約多項式、可約多項式的概念，掌握因式分解及唯一性定理。
6.了解多項式的導數、重因式、單因式、根、重根、單根等概念，掌握多項式有重因
式的判別方法，掌握代數學基本定理。掌握實數域、復數域上多項式因式分解定理。
7.會求有理系數多項式的全部有理根。
（二）行列式
考試內容
n 階行列式的定義行列式的性質行列式的計算拉普拉斯定理克萊姆法則
考試要求
1.了解 n 階行列式的定義。
2.掌握理解行列式的性質，掌握行列式計算，會利用行列式的性質計算較復雜的 n 階
行列式。
3.了解拉普拉斯定理，掌握行列式的乘法定理。
4.掌握克萊姆法則。
（三）線性方程組
考試內容
n 維向量的定義向量的數乘和加法運算向量組的線性組合線性表示線性相關線性
無關等價極大無關組向量組的秩矩陣的秩線性方程組的消元法齊次線性方程組有非
零解的充要條件非齊次線性方程組有解的充要條件齊次線性方程組的基礎解系、通解及解
空間的概念用行初等變換求線性方程組通解的方法
考試要求
1.理解 n 維向量的定義，掌握向量的數乘和加法運算。
2.理解向量組的線性組合、線性表示、線性相關、線性無關、等價、極大無關組、秩
的概念。掌握與此相應的重要結論。
3.理解矩陣的秩的概念并掌握相關結論。
4.掌握求向量組的極大無關組、秩的方法。
5.理解線性方程組的消元法原理。理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解非
齊次線性方程組有解的充要條件。
6.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念。
7.掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。
（四）矩陣
考試內容
矩陣的概念矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律伴隨矩陣逆矩陣矩
陣可逆的充要條件矩陣的初等變換矩陣等價初等矩陣用初等變換
求逆陣矩陣分塊概念矩陣分塊運算。
考試要求
1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律。
2.理解矩陣的概念，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨求矩陣。掌握逆矩陣的性質，掌
握矩陣可逆的充要條件。
3.理解矩陣的初等變換和矩陣等價的概念，了解初等矩陣的性質。掌握用初等變換求
逆陣的方法。
4.掌握矩陣乘積、和的秩的有關結論。
5.了解矩陣分塊概念、掌握矩陣分塊運算。
（五）二次型
考試內容
二次型概念二次型的矩陣表示方法二次型的標準型、規范型用配方法求二次型的標
準型用初變換方法求二次型的標準型實二次型慣性定理理解正慣性指數、負慣性指數、
符號差實二次型分類概念各類二次型（正定、負定、半正定、半負定、不定）的判別方法
考試要求
1.理解二次型概念，掌握二次型的矩陣表示方法。
2.理解二次型的標準型、規范型的概念，會用配方法求二次型的標準型，掌握用初等
變換方法求二次型的標準型。
3.理解實二次型慣性定理，理解正慣性指數、負慣性指數、符號差等概念。
4. 掌握實二次型分類概念。掌握各類二次型（正定、負定、半正定、半負定、不定）
的判別方法。
（六）線性空間
考試內容
向量空間的概念線性空間的維數、基、坐標基變換、坐標變換的公式過渡矩陣線
性子空間子空間的交與和維數公式子空間直和判別直和的條件商空間空間、子空間、
商空間三者維數之間的聯系線性空間同態與同構有限維線性空間同構的充分必要條件線
性空間的同態基本定理
考試要求
1.理解向量空間的概念，理解線性空間的維數、基、坐標的概念。
2.掌握基變換、坐標變換的公式，會求過渡陣。
3.理解線性子空間、子空間的交與和的概念，掌握維數公式，掌握判別子空間的方法，
會求子空間交的基、和的基。
4.了解子空間直和的概念，掌握判別直和的條件。
5.了解商空間的概念，會求商空間的基。掌握空間、子空間、商空間三者維數之間的
聯系。
6.了解線性空間同態與同構的概念，掌握有限維線性空間同構的充分必要條件，掌握
線性空間的同態基本定理。
（七）線性變換
考試內容
線性變換的定義線性變換運算線性變換的矩陣特征值特征向量特征子空間特征
多項式 Hamilton-Caylay 定理線性變換在某組基下矩陣是對角矩陣的充分必要條件矩
陣與對角矩陣相似的充分必要條件線性變換的核與值域線性變換的秩與零度不變子空間
復數域上線性空間的根子空間直和分解定理
考試要求
1.理解線性變換的定義、運算及其矩陣表示。
2.理解特征值、特征向量、特征子空間、特征多項式等概念，掌握求線性變換、矩陣的
特征值、特征向量的方法、掌握 Hamilton-Caylay 定理。
3.掌握線性變換在某組基下矩陣是對角矩陣的充分必要條件，掌握一個矩陣與對角矩陣
相似的充分必要條件。
4.若矩陣 A 與對角陣相似，會求可逆矩陣 P，化 A 為對角矩陣。
5.理解線性拌和的核與值域的概念，掌握線性變換的秩與零度之和等于線性空間維數的
公式，會求值域與核。
6.理解不變子空間的概念，了解線性變換的矩陣化簡和不變子空間的內在聯系，掌握復
數域上線性空間的根子空間值和分解定理。
（八）歐氏空間
考試內容
歐氏空間的定義及其簡單性質標準正交基的概念用 Schmidt 方法求標準正交基子空
間的正交以及正交補正交變換判別線性變換是正交變換的方法及其充要條件正交矩陣正
交變換與正交矩陣的聯系對稱變換對稱變換與對稱矩陣的聯系化對稱矩陣為對角陣的方
法正交變換法化實二次型為標準型酉空間概念及其性質
考試要求
1.理解歐氏空間的定義及其簡單性質。
2.理解標準正交基的概念，會用 Schmidt 方法求標準正交基。
3.理解子空間的正交以及正交補的概念。
4.理解正交變換的概念，掌握判別線性變換是正交變換的方法及其充要條件，理解正交
變換與正交陣的聯系。
5.了解 QR 分解及其唯一性問題。
6.掌握對稱變換的概念，了解對稱變換與對稱矩陣聯系，掌握化對稱矩陣為對角陣的方
法。會用求特征值方法化實二次型為標準型。
7.了解酉空間概念及其性質。
三、考試題型及比例
計算題： 50%左右；證明題： 50%左右。
四、考試形式及時間
考試形式為閉卷筆試，試卷總分值為 150 分，考試時間為三小時。
五、主要參考教材
[1]《高等代數》第四版，北京大學數學系前代數小組編，王萼芳，石生明
修訂，高等教育出版社， 2013 年 8 月.
[2] 復旦大學蔣爾雄等編《線性代數》，人民教育出版社，1988.
[3] 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數》，高等教育出版社， 1997.

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