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1
目錄
I 考查目標........................................................................................ 2
II 考試形式和試卷結構 ..................................................................2
III 考查內容..................................................................................... 2
IV. 題型示例及參考答案.................................................................4
2
全國碩士研究生入學統一考試高等代數考試大綱
I 考查目標
要求考生 比 較 系 統 地 理解 高 等 代 數 的基本概念和基本理論，掌握 高 等 代 數
的基本思想和方法具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分
析問題和解決問題的能力。
II 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷內容與題型結構
計算題（30%）、證明題（70%）
III 考查內容
一、多項式
1.熟練掌握多項式因式分解理論及整除理論。
2.掌握多項式、不可約多項式、最大公因式、重因式的概念；掌握整除、互素、不可約等概
念的聯系與區別。
3.掌握帶余除法、輾轉相除法、艾森斯坦因（Eisenstein）判別法。
4.會求兩個多項式的最大公因式，會求有理系數多項式的有理根，會判別兩個多項式互素。
二、行列式
1.熟練掌握行列式的性質及行列式的計算。
2.掌握 n 階行列式的定義。
3.掌握克拉默（Cramer）法則。
三、線性方程組
3
1.熟練掌握向量線性相關性的概念、性質、判別法，會求向量組的秩及最大線性無關組。
2.掌握基礎解系的概念及計算，熟練掌握線性方程組的解的判別定理 ，以及齊次和非齊
次線性方程組的求解。
3.熟練掌握矩陣的秩的概念及計算。
四、矩陣
1.熟練掌握矩陣、可逆矩陣、初等矩陣的概念與性質。
2.理解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算及思想方法。
3.熟練掌握矩陣的加法、減法、乘法，數乘、轉置等運算。
4.熟練掌握可逆矩陣的判別方法及逆矩陣的計算。
5.能熟練使用矩陣的初等變換方法。
五、二次型
1.掌握二次型的標準形、實二次型的規范形的概念。
2.熟練掌握正定二次型的概念、性質、判別方法。
3.掌握化二次型為標準形的思想方法。
4.理解合同矩陣的概念及背景。
六、線性空間
1.掌握線性空間、子空間的概念及判定方法。
2.掌握基與維數的概念、性質及求法，能熟練運用維數公式、基變換公式，會求過渡矩陣。
3.掌握子空間的交與和的概念、性質及求法。
4.熟練掌握子空間的直和的概念、性質。
5.理解線性空間的同構及判定方法。
七、線性變換
1.掌握相似矩陣的概念、背景、性質及判定方法。
2.熟練掌握特征值和特征向量的概念、性質及求法。
3.熟練掌握線性變換的矩陣可對角化的條件及方法。
4
4.掌握不變子空間的概念及判定方法。
5.掌握線性變換的概念、性質、運算及判定方法。
6.掌握 Hamilton-Caylay 定理及其應用。
7.掌握線性變換的值域與核的概念、性質及求法。
8.會求線性變換的矩陣、最小多項式。
八、 ? -矩陣
1.會求矩陣的 Jordan 標準型。
2.掌握矩陣的行列式因子、初等因子、不變因子的概念及求法。
九、歐幾里得空間
1.掌握歐幾里得空間、標準正交基與正交矩陣、對稱變換與實對稱矩陣、正交變換、正交補、
度量矩陣的概念與性質。
2.熟練掌握實對稱矩陣正交對角化方法.
3.掌握正交矩陣判別方法。
4.會求歐幾里得空間的標準正交基
IV. 題型示例及參考答案
一（20分）設
0 3 3
1 8 6
2 14 10
A
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?? ?? ?
求： 1）A的不變因子、行列式因子、初等因子；
2）A的Jordan標準形.
二（20分）設線性方程組
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
3
2 4
ax x x
x bx x
x bx x
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ??
試討論：當a,b分別取什么值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？并在有無窮多解
時求其一般解.
5
三（18分）設A是 n n? 矩陣（ 2n ? ）， *
A 是 A 的伴隨矩陣.
試證明：當 ( )R A n? 時， *
( )R A n? ；而當 ( ) 1R A n? ? 時， *
( ) 0R A ? 或1 .
四（20分）設 1 2
, , , m
? ? ?? 是 n 維歐氏空間V 中的一組向量，
記
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
m
m
m m m m
A
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ??
? ?
? ?
? ?
?
?
? ? ? ?
?
其中( , )i j
? ? 為內積.
證明： 1 2
, , , m
? ? ?? 線性無關 ? 0A ? .
五（20 分）設 ?
?
?
?
?
?
?
2221
1211
AA
AA
A 是一對稱矩陣，且 011
?A .
證明：存在 ?
?
?
?
?
?
?
EO
XE
B ，使得 ?
?
?
?
?
?
?
*
11
O
OA
ABB
T
，
其中*表示一個階數與 22
A 相同的矩陣.
六（20 分）設/A 是線性空間V 上的一個線性變換，若/A 可逆，且 ? 是/A 的一個特征值，
則
1
?
是
-1
/A 的特征值.
七（18 分）設 ( ) { 0, }
n n n n
S A B P AB A P
? ?
? ? ? ?
(1) 證明: ( )S A 是 n n
P
?
的一個子空間；
(2) 若 ( )R A r? ，問 dim ( ) ?S A ?
八（14 分）設 ,? ? 是復數域C 上的 n 維線性空間V 的兩個非零線性變換.
( ) ( ) ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ( ) ( ) ,? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? 且dim Im( ) 1?? ??? ? .
試證：? 與? 有公共非平凡不變子空間.
6
參考答案
一．解： E A? ? 的標準形為
? ?
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ??? ?
不變因子 1，1， ? ?
2
1? ? ?
行列式因子 1，1， ? ?
2
1? ? ?
初等因子 ? ，? ?
2
1? ?
A 的 Jordan 標準形
0 0 0
0 1 0
0 1 1
? ?
? ?
?
? ?
? ??? ?
二．解：D =
1 1
1 1
1 2 1
a
b
b
= -b(a-1)
當 D≠0 時，即 a≠1 且 b≠0 時，有唯一解
當 D=0 時，
若 b=0：R(A)=2，R(B)=3，無解
若 a=1：B=
1 1 1 4
1 1 3
1 2 1 4
b
b
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
1 1 1 4
0 1 0 1
0 2 1 0 0
b
b
? ?
? ?
? ?
? ?
? ??? ?
當 b≠
1
2
: R(B)=3，R(A)=2 無解
當 b=
1
2
: B ?
1 1 1 4
1
0 0 1
2
0 0 0 0
? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
7
通解 0
1 2
0 2
1 0
k k? ? ?
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
，k 為任意常數。
三．證：若 R(A)=n：
1*
0
n
A A
?
? ? ? ?*
R A n? ?
若 R(A)=n-1: A 中至少有一個 n-1 階子式不為零。 *
( ) 1R A? ?
又 0A ? ，
*
0AA A E? ? 得 *
( ) ( )R A R A n? ?
*
( ) 1R A? ?
*
( ) 1R A? ?
若 R(A)＜n-1：A 中所有 n-1 階子式全為 0，
0ij
A? ? （i,j=1,2,…,n） *
0A? ?
*
( ) 0R A? ?
四．證：設 1 1
... 0m m
k k? ?? ? ?
則 1 1
( , ... ) 0i m m
k k? ? ?? ? ? i=1,2,…,m
1 1 2 2
( . ) ( . ) ... ( . ) 0i i m i m
k k k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? (i=1,2,…,m)
1 1 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
......
( . ) ( . ) ... ( . ) 0
m m
m m
m m m m m
k k k
k k k
k k k
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
? ?
?
?? ? ? ? ??
1 2
, ,..., m
? ? ?? 線性無關 ? 上述方程組只有零解 ? 0A ? 。
五．證：令
1
11 12
0
E A A
B
E
?
? ??
? ? ?
? ?
12 21
T
A A?? ? ?1 1
11 11
T
A A
? ?
?
1
11 12 11 12
1
21 11 21 22
0
0 0
T
E A A E A A
B AB
A A E A A
?
?
? ??? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
1
11 12 11 12
1
21 11 12 22
0 0 0
A A E A A
A A A A
?
?
? ??? ?
? ? ?? ?
? ?? ? ? ?
8
11
1
22 21 11 12
0
0
A
A A A A
?
? ?
? ? ?
?? ?
六．證：設/A? = ?? ? 為/A 屬于 ? 的特征向量
? ? = ? / 1
A ?
?
0?? ?
? / 1
A ?
?
=
1
?
?
?
1
?
是/ 1
A
?
的特征值。
七．解：1) 0 ( )S A?? ( )S A? ? ? 且 ( )
n n
S A p
?
?
, ( )B C S A? ? AB=0,AC=0
( ) 0A B C AB AC? ? ? ? ?
( ) 0A k kAB? ? ?
( )S A? 是 n n
p
?
的子空間。
2) 設 1 2 n r
? ? ? ?
， ， ... 是
1
2
0
...
n
x
x
A
x
? ?
? ?
? ? ?
? ?
? ?
? ?
的一個基礎解系，考慮下列n n? 矩陣
? ?1 1
, 0,..., 0B ?? , ? ?2 2
, 0,..., 0B ?? ,…, ? ?, 0,..., 0n r n r
B ?? ?
? ,
? ?1 1
0, , 0,..., 0n r
B ?? ?
? … ? ?2( )
0, , 0,..., 0n r n r
B ?? ?
? ,…, ? ?( )
0,..., 0,n n r n r
B ?? ?
?
則 0i
AB ? （i=1,2,…,n(n-r)）.
顯然 1 2 ( )
, ,..., n n r
B B B ? 線性無關，即為 S(A)的一組基
dimS(A)=n(n-r).
八．證： ? ?dim 1m
I ?? ??? ??
9
dim V n? ? ＞1. 令 1 2
, ,..., n
? ? ? 為 V 的一組基
則 n 個向量? ? ? ?1
,..., n
?? ?? ? ?? ?? ?? ? 中必有一個非零向量。
不妨設? ? 1
?? ?? ?? ≠0，則上述這 n 個向量中其余 n-1 個均可由? ? 1
?? ?? ?? 線性
表示，即：? ? ? ? 1i i
k?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? i=2,…,n
? ?? ?1
0i i
k?? ?? ? ?? ? ? ? i=2,…,n
設 ? ?1 2 2 1 1
,..., n n
V L k k? ? ? ?? ? ?
易證 ? ?1
0V Ker ?? ??? ? ?
同時，由題設 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ， ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?
易知 1
V 是線性變換? 與? 的非平凡不變子空間。
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