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1
目錄
I 考查目標........................................................................................ 2
II 考試形式和試卷結構 ..................................................................2
III 考查內容..................................................................................... 3
IV. 題型示例及參考答案.................................................................4
2
全國碩士研究生入學考試
信號與線性系統考試大綱
I 考查目標
信號與線性系統課程研究生考試范圍限于確定性信號（非隨機性信號）經線性時不變系
統傳輸與處理的基本理論及基本分析方法。測試主要分兩個方面：一是基本理論。測試考生
對基本理論概念掌握的深度與熟練程度；二是綜合解決問題的能力。要求考生熟練掌握連續
時間信號與系統、離散時間信號與系統的時域分析法及其相應的頻域分析、復頻域分析和 z
變換分析法。具體要求如下：
1、 掌握確定性信號的時域運算與變換；掌握系統線性時不變性質的判定；掌握系統零輸
入響應、零狀態響應和全響應的概念與求解；掌握沖激響應的求解；掌握卷積積分的
性質及利用卷積積分求系統零狀態響應的方法和物理意義。
2、 理解信號正交分解的原理；掌握周期信號和非周期信號的頻譜及其特點；重點掌握傅
里葉變換及其主要性質、典型周期信號的傅里葉變換；掌握帕色瓦爾定理的主要內容。
3、 掌握連續時間系統頻域響應函數的求解；熟練掌握周期信號和非周期信號激勵下系統
響應的求取；掌握系統無失真傳輸條件；掌握理想低通濾波器頻響特性及其沖激響應
特點；了解系統物理可實現條件、佩利-維納準則；理解希爾伯特變換原理；熟練掌握
調制與解調的原理及其應用；熟練掌握時域采樣定理；理解抽樣信號的傅立葉變換；
了解頻分復用和時分復用原理。
4、 掌握單邊拉氏變換及其主要性質；熟練掌握連續時間系統的復頻域分析方法；重點理
解系統函數的概念和由系統函數分析系統的特性；掌握線性系統的模擬方式。
5、 掌握典型離散信號及其表示；掌握離散時間系統的單位樣值響應的求解；熟練掌握利
用卷積和求系統的零狀態響應方法；熟悉建立差分方程的過程。
6、 理解 z 變換的概念；熟練掌握典型信號的 z 變換及 z 變換的性質；熟練掌握利用 z 變
換求解離散系統的差分方程的方法；掌握離散時間系統的系統函數和離散時間系統的
頻率響應特性；掌握離散時間系統的 z 域模擬。
7、 理解系統的狀態、狀態變量、狀態空間、狀態方程、輸出方程的定義和意義；掌握如
何建立系統的狀態方程和輸出方程；理解系統狀態方程和輸出方程的求解方法。
II 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。允許使用計算器（僅僅具備四則運算和開方運算功能的計算器），
但不得使用帶有公式和文本存儲功能的計算器。
三、試卷內容與題型結構
選擇題或填空題 10 題，每小題 3 分，共 30 分
基礎計算題或證明題 5 題，共 80 分
綜合分析計算題 2 題，共 40 分
3
III 考查內容
一、 信號與系統的基本概念
1、 信號的描述與分類
2、 基本的連續時間信號
3、 信號的運算與變換
4、 系統的描述與分類
5、 線性時不變系統的基本性質判定
二、 連續時間系統的時域分析
1、 連續時間系統的數學模型與算子表示
2、 連續時間系統的零輸入響應、零狀態響應及全響應求解
3、 沖激響應與階躍響應求解
4、 卷積定義及計算
5、 卷積的性質
三、 連續時間信號的頻域分析
1、 信號的正交分解原理
2、 周期信號的傅里葉級數分解
3、 周期信號的頻譜特點
4、 傅里葉變換、典型非周期信號頻譜
5、 傅里葉變換的性質
6、 周期信號的傅里葉變換
7、 帕塞瓦爾定理與功率譜、能量譜
四、 連續時間系統的頻域分析
1、 頻域系統函數
2、 周期信號激勵下系統響應的頻域分析
3、 非周期信號激勵下系統響應的頻域分析
4、 無失真傳輸
5、 理想低通濾波器與系統的物理可實現性
6、 系統函數的約束特性與希爾伯特變換
7、 調制與解調的概念及其應用
8、 時域抽樣定理
9、 頻分復用與時分復用
五、 連續時間系統的復頻域分析
1、 拉普拉斯變換定義及常見信號的拉普拉斯變換
2、 拉普拉斯變換的性質
3、 拉普拉斯反變換
4、 連續時間系統的復頻域分析
5、 系統函數與系統特性的關系
6、 線性系統的模擬
六、 離散時間系統的時域分析
1、 離散時間信號基礎
2、 離散時間系統數學模型及其模擬
3、 離散時間系統的零輸入響應和零狀態響應求解
4、 單位序列響應與單位階躍響應求解
4
5、 卷積和定義、性質及其求解
七、 z 變換、離散時間系統的 z 域分析
1、 z 變換定義及 常見序列的 z 變換
2、 z 變換的性質
3、 z 反變換
4、 z 變換與拉普拉斯變換的關系
5、 差分方程的 z 變換求解
6、 系統函數與系統特性
7、 離散時間系統的頻率響應
8、 離散時間系統的 z 域模擬
八、 系統的狀態變量分析
1、 狀態變量與狀態方程的定義和意義
2、 連續系統狀態方程的建立
3、 離散系統狀態方程的建立
4、 狀態方程的求解
IV. 題型示例及參考答案
一、單項選擇題（每題 3 分，共 30 分）
1、某連續系統滿足 )2()]([)( tftfTty ?? ，其中 )(tf 為輸入信號，則該系統為 （ ）
A、線性時不變系統 B、非線性時不變系統
C、線性時變系統 D、線性時不變系統
2、 ???
?
?
?
dtte
t
1
2
)3(? （ ）
A、 6
e B、 6
e? C、 )3(
6
?? te ? D、0
3、已知某系統的系統函數為
1
1
)(
?
?
s
sH ，當系統激勵為 )sin()( ttf ? 時，輸出響應為
（ ）
A、 )()
4
sin(
2
2
tt ?
?
? B、 )
4
sin(
2
2 ?
?t
C、 )
4
sin(
2
2 ?
?t D、 )()
4
sin(
2
2
tt ?
?
?
4、時間函數 )]1
2
()1
2
([
4
1
)( ????
tt
tf ?? 對應的頻譜函數為 （ ）
A 、 )2cos()( ?? ?jF B、 )cos(2)( ?? ?jF
C 、 )
2
cos()(
?
? ?jF D、 )2cos(
2
1
)( ?? ?jF
5 、 若 實 信 號 )(tf 的 傅 立 葉 變 換 為 )()()( ??? jjXjRjF ?? ， 則 信 號
5
)]()([
2
1
)( tftfty ??? 的傅立葉變換為 （ ）
A 、 )(2 ?jR B 、 )( ?jR C 、 )( ?jX D、 )(
2
1
?jX
6、已知連續時間系統函數
23
)( 2
??
?
ss
s
sH ，則它的幅頻響應特性所屬的類型是 （ ）
A、低通 B、高通 C、 帶通 D、帶阻
7、信號 )1()]([)(
2
???
?
ttetf
t
?? （? 表示卷積）的拉普拉斯變換 ?)(sF （ ）
A、
2
s
e
s
?
?
B、
2
s
e
s ?
C、
2
s
e
s ?
D、
2
s
e
s
?
?
8、已知信號 )(tf 的最高頻率分量為 m
f ，則對信號 )2( tf 抽樣時，其頻譜不發生混疊的最
大取樣時間間隔為 （ ）
A 、
m
f
1
B、
m
f
2
C、
m
f2
1
D、
m
f4
1
9、卷積和 )]3()2([)( ???? kkk ??? 等于 （ ）
A、 )3( ?k? B、 )2( ?k? C、1 D、 )3()2( ??? kk ??
10、時域離散非周期信號對應的頻譜為 （ ）
A、周期的連續譜 B、非周期的連續譜
C、周期的離散譜 D 非周期的離散譜
二、（20 分）一電路如圖 1（a）所示，其中 ?? kR 21
， ?? kR 12
， FC ?1500? ，以 )(tu c
作為輸出，試求：
（1）該電路的單位沖激響應 )(th ；系統的頻率響應 )( ?jH ；該系統具有哪種濾波特性（高
通、低通、帶通、帶阻）？ 說明原因。
（2）當輸入端加入圖 1（b）所示的 )(tu s 時，用卷積法求系統的輸出 )(tu c 。
?
?
)(tu s
1
R
?
?
C 2R)(tuc
1
3
)(tus
t0 2
3
6
3?
（a） （b）
圖 1 第二題圖
6
三、證明題：（15 分）
已知 )()()( thtfty ?? （ ? 表示卷積）和 )3()3()( thtftg ?? ，且 )(tf 的傅立葉變換是
)( ?jF ， )(th 的傅立葉變換是 )( ?jH ，利用傅立葉變換的性質證明： )()( BtAytg ? ，并
求出 A 和 B 的值。
四、（20 分）已知某系統的頻率響應 )( ?jH 如圖 2（a）所示，當加入圖 2（b）所示激勵 )(tf
時，求系統的輸出響應 )(ty 。其中：
?
?
?
?
?
?
???
?
??
????
??
0
)(
1
)( jH
1
??? ?0
)( ?jH
1
)(tf
t01? 1 3 53?5?
??
（a） （b）
圖 2 第四題圖
五、（15 分）一帶限信號的頻譜如圖 3（a）所示，若此信號通過圖（b）所示系統，請畫出
A、B、C 三點處的信號頻譜。其中理想低通濾波器的頻響函數為：
)15()15()( ???? ?????jH
10?
8
)( ?jF
?0 10
? )(ty)( ?jH
t30cos
)(tf
A CB
?
t30cos
（a） （b）
圖 3 第五題圖
六、（20 分）已知一線性時不變連續時間系統的微分方程為
)(8)(26)(5)( tftftyty ????????
其中： )()( tetf
t
?
?
? ， 3)0( ?
?
y ， 2)0( ?? ?
y ，由 s 域求解：
（1） 零輸入響應 )(ty zi ，零狀態響應 )(ty zs ，全響應 )(ty ，自然響應和受迫響應。
（2） 系統函數 )(sH ，單位沖激響應 )(th ，并判斷系統是否穩定，說明理由。
7
（3） 畫出系統的直接形模擬框圖。
七、（20 分）已知某離散時間系統的差分方程為
)1(2)()2(2)1(3)( ??????? kfkfkykyky
系統初始狀態為 1)1( ??y ， 2)2( ??y ，系統激勵為 )()3()( kkf
k
?? ，
試求：
（1）系統函數 )(zH ，系統頻率響應 )(
?j
eH 。
（2）系統的零輸入響應 )(ky zi
、零狀態響應 )(ky zs
和全響應 )(ky 。
八、（10分）如圖所示電路，輸出為 )()( 2
tuty c
? ，狀態變量取 1
C 和 2
C 上的電壓 )()( 11
tut c
??
)()( 22
tut c
?? ，且有 1
C FC 12
?? ， ???? 1210
RRR ，列出系統的狀態方程和輸出方程。
)(tus
?
?2 2
C
?
?
2?
1?
? ?
)(2
tuC
?
?
1
C
)(1
tuC
1
R
2
R
0
R
圖 4 第八題圖
參考答案
一、單項選擇題（每題 3 分，共 30 分）
1、C 2、D 3、B 4、A 5、B
6、C 7、A 8、D 9、C 10、A
二、（20 分）
解：（1）該系統的系統函數 )(sH 為
1
1
3
1
//
1
//
1
)(
)(
)(
21
2
?
?
?
??
s
R
sC
R
R
sC
sU
sU
sH
s
c
所以系統沖激響應為 )(
3
1
)( teth
t
?
?
?
系統頻率響應為：
1
1
3
1
)()(
?
?? ?
?
? ?
j
sHjH js
由
3
1
)0( ?jH ， 0)( ??jH ，可知該系統具有低通濾波特性。
（2）系統輸出 )(tu c 為
8
)()()()()(
)1(
thtuthtutu ssc
?
?????
其中： )3()2(3)1()([3)( ??????? tututututu s
)3()2(3)1()([3)( ???????? tttttus
????
)()1(
3
1
)(
3
1
)()(
00
)1(
tetdedhth
t
tt
?????
? ???
???? ??
故： )()()()()(
)1(
thtuthtutu ssc
?
?????
)3(]1[)2(]1[3)1(]1[)(]1[
)3()2()1(
???????????
???????
tetetete
tttt
????
三、證明題：（15 分）
解：由已知 )()()( thtfty ?? ， )3()3()( thtftg ?? ，
由時域卷積特性和時域尺度特性，有 ?)( ?jY F[ )()( thtf ? ]= )()( ?? jHjF ? ，
又 )3( tf 的傅立葉變換為： )
3
(
3
1 ?
jF ， )3( tg 的傅立葉變換為： )
3
(
3
1 ?
jG ，
故 ?)( ?jG F[ )3()3( thtf ? ]= )
3
()
3
(
9
1 ??
jHjF ?
而 ?)
3
(
?
jY )
3
()
3
(
??
jHjF ? ，故 )]
3
(
3
1
[
3
1
)
3
(
9
1
)(
??
? jYjYjG ?? ，
由尺度變換特性，可得： )3(
3
1
)( tytg ? ，
故可得 3,
3
1
?? BA
四、（20 分）
解：由圖 2（b）可知， )(tf 的周期為 sT 41
? ，
2
2
1
1
??
? ??
T
將 )(tf 展開成指數形式的傅里葉級數 ?
?
???
?
n
tjn
n
eFtf 1
)(
?
則系統響應為 ??
?
???
?
???
??
n
t
n
j
n
n
tjn
n
e
n
jHFejnHFty 2
1
)
2
()()( 1
?
? ?
?
由圖 2（a）可以看出，當 ?
?
? ??
2
1
n
n 時，即 2?n 時， 0)( 1
??jnH ，系統響應為：
?
??
?
1
1
2
)
2
()(
n
tjn
n
e
n
jHFty
?
?
9
tjtj
ejHFjHFejHF 2
10
2
1
)
2
()0()
2
(
??
??
??
?
?
?
?
由于 )
2
(
2
1
4
1
)(
1 2
2
22
21
1
1
1
?
?
? n
Sadtedtetf
T
F
t
n
j
T
T
tjn
n
??? ?? ?
?
?
?
故有
?
? 1
)
2
(
2
1
1
?
?
??
S aF ，
2
1
)0(
2
1
0
?? SaF ，
?
? 1
)
2
(
2
1
1
?? S aF
又由圖 4.2（a）可知，
2
1
)
2
()
2
( ??
? ??
jHjH ， 1)0( ?jH ，所以系統輸響應為
)
2
c o s (
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)( 22
teety
tjtj ?
???
??
?????
?
五、（15 分）
解：
20
4
)( ?jA
?30 4040?
4
30? 20?
50
4
)( ?jB
?60 7070?
2
60? 50? 10? 0 10
2
4
)( ?jC
?
10? 0 10
答圖 1 第五題圖
六、（20 分）
解：（1）對微分方程兩邊同時做單邊 laplace 變換得：
)()82()(6)0(5)(5)0()0()(
2
sFssYyssYysysYs ????????
???
整理后得 )(
65
12
65
)0(5)0()0(
)( 22
sF
ss
s
ss
yysy
sY
??
?
?
??
???
?
???
零輸入響應的 s 域表達式為
10
3
8
2
11
65
173
65
)0(5)0()0(
)( 22
?
?
?
?
?
??
?
?
??
???
?
???
ssss
s
ss
yysy
sYzi
進行 laplace 反變換可得：
)()811()(
32
teety
tt
zi
?
??
??
零狀態響應的 s 域表達式為
3
1
2
4
1
3
1
1
65
82
)( 2
?
?
?
?
?
?
???
?
?
ssssss
s
sYzs
進行 laplace 反變換可得：
)()43()(
32
teeety
ttt
zs
?
???
???
全響應為 )()773()()()(
32
teeetytyty
ttt
zszi
?
???
?????
自然響應為： )()77(
32
tee
tt
?
??
? ，受迫響應為： )(3 te
t
?
?
（2）求系統函數 )(sH
3
2
2
4
65
82
)(
)(
)( 2
?
?
?
?
?
??
?
??
ssss
s
sF
sY
sH zs
進行 laplace 反變換可得： )()24()(
32
teeth
tt
?
??
??
系統函數的極點為-2，-3，位于 s 平面的左半平面，故系統穩定。
（3）將系統函數改寫為：
21
21
651
82
)( ??
??
??
?
?
ss
ss
sH
由此可畫出系統的直接型模擬框圖為：
?
1?
s
1?
s )(sY)(sF ? ?
2
?
5
6
8
答圖 2 第六題圖
七、（20 分）
解：（1）系統函數為
23
2
231
21
)( 2
2
21
1
??
?
?
??
?
? ??
?
zz
zz
zz
z
zH
系統頻率響應
23
2
)()( 2
2
??
?
?? ? ??
??
?
?
jj
jj
ez
j
ee
ee
zHeH j
解一：（2）對差分方程兩端同時作 z 變換得
11
)(2)(])2()1()([2])1()([3)(
1221
zFzzFzyzyzYzzyzYzzY
???
??????????
即： )(
231
)21(
231
)2(2)1(2)1(3
)( 21
1
21
1
zF
zz
z
zz
yyzy
zY ??
?
??
?
??
?
?
??
?????
?
上式中，第一項為零輸入響應的 z 域表示式，第二項為零狀態響應的 z 域表示式，將初始狀
態及激勵的 z 變換
3
)(
?
?
z
z
zF 代入，得零輸入響應、零狀態響應的 z 域表示式分別為
23
2
231
21
)( 2
2
21
1
??
?
??
??
??
? ??
?
zz
zz
zz
z
zYzi
323
2
3231
21
)( 2
2
21
1
?
?
??
?
?
?
?
??
?
? ??
?
z
z
zz
zz
z
z
zz
z
zYzs
將 )(),( zYzY zszi
展開成部分分式之和，得
2
4
1
3
23
2)(
2
?
?
?
?
?
??
?
??
zzzz
z
z
zYzi
3
2
15
2
8
1
2
3
3
1
23
2)(
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
zzzzzz
zz
z
zYzs
即
2
4
1
3
)(
?
?
?
?
?
z
z
z
z
zY zi
3
2
15
2
8
1
2
3
)(
?
?
?
?
?
?
?
z
z
z
z
z
z
zYzs
對上兩式分別取 z 反變換，得零輸入響應、零狀態響應分別為
)(])2(43[)( kky
k
zi
???
)(])3(
2
15
)2(8
2
3
[)( kky
kk
zs
????
故系統全響應為
)()()( kykyky zszi
?? )(])3(
2
15
)2(12
2
9
[ k
kk
????
解二、（2）系統特征方程為 023
2
??? ?? ，特征根為： 11
?? ， 22
?? ；
故系統零輸入響應形式為
k
zi
ccky )2()( 21
??
將初始條件 1)1( ??y ， 2)2( ??y 帶入上式得
?
?
?
??
?
?
????
????
2)
4
1
()2(
1)
2
1
()1(
21
21
ccy
ccy
zi
zi
解之得 31
?c ， 42
??c ，
12
故系統零輸入響應為： k
zi
ky )2(43)( ?? 0?k
系統零狀態響應為
323
2
3231
21
)()()( 2
2
21
1
?
?
??
?
?
?
?
??
?
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zz
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2
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3
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15
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z
z
z
z
z
zYzs
對上式取 z 反變換，得零狀態響應為 )(])3(
2
1 5
)2(8
2
3
[)( kky
kk
zs
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故系統全響應為
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?? )(])3(
2
15
)2(12
2
9
[ k
kk
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八、（10 分）
解：
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C
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1
C
)(1
tuC
1
R
2
R
0
R
答圖 3 第八題圖
設回路總電流為 I ，已知狀態變量為：
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tut c
?? ， )()()( 22
tutyt c
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列回路方程：
I
RCRC
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2
2
1
1
1
1
1
1111
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消去非狀態變量并整理得狀態方程為
)(2 211
tus
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)(2 212
tus
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輸出方程為： 2
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13
寫成矩陣形式為：
)(
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1
21
12
2
1
2
1
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