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1
目錄
I 考查目標......................................................錯誤！未定義書簽。
II 考試形式和試卷結構 ................................錯誤！未定義書簽。
III 考查內容...................................................錯誤！未定義書簽。
IV. 題型示例及參考答案...............................錯誤！未定義書簽。
2
全國碩士研究生入學統一考試
高等數學考試大綱
I 考查目標
目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備攻讀相關專業碩士所必須的基本素質、一
般能力和培養潛能，以利用選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為國家的經濟建設培養具有
較強分析與解決實際問題能力的高層次、應用型、復合型的材料成型專業人才?？荚嚋y試考
生掌握一元函數基本概念、基本性質、基本理論的扎實程度，考查考生能熟練運用這些概念
與理論分析解決現實生產中與函數有關數學問題的能力.
具體來說。要求考生：
掌握一元基本初等函數的定義、圖像、導數公式、積分公式；會用極限、導數和積分工
具和方法來研究一元函數局部有界性、保號性、保不等式性和整體有界性、單調性、凸凹性、
最小值、最大值、區間上平均值等全局性質。同時也能所學導數和定積分知識來進行微分方
程建模和求解。
II 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
二、答題方式
閉卷、筆試。允許使用計算器，但不得使用帶有公式和文本存儲功能的計算器。
三、試卷內容與題型結構
填空(6 個空 ，每空 5 分，共 30 分)
計算題(4 小題，每題 10 分， 共 40 分)
證明題(4 小題，每題 10 分， 共 40 分)
綜合應用題(40 分)
假如每題分數有變化，變化范圍亦不大。
III 考查內容
1. 集合的概念、運算、鄰域的定義；函數的概念、圖形、表示法；基本初等函數：冪函
數；指數函數；對數函數；三角函數；反三角函數；反函數; 復合函數的概念; 初等函數; 雙
曲函數和反雙曲函數的概念; 函數的有界性、單調性、奇偶性、周期性、函數極限（數列極
限）存在性、計算、無窮小階的比較；函數連續性及閉區間連續函數性質。
2. 導數的定義、左右導數、導數的物理意義和幾何意義；函數的可導性與連續性的關系；
導數的四則運算法則、反函數的導數、復合函數的求導法則；高階導數的概念、高階導數的
計算方法、萊布尼茨公式、隱函數求導法；對數求導法；參數方程表示的函數的導數；相關
變化率；微分的定義; 函數可微的條件；基本初等函數的微分公式與微分運算法則；微分的
幾何意義、函數的線性化。
3. 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；洛必達法則、泰勒公式
函數的單調性、曲線的凹凸性、函數的極值、函數圖形的描繪；弧微分的概念、微分三角形、
曲率及其計算公式、曲率圓的概念；求近似實根二分法和切線法(牛頓法)。
3
4. 原函數的概念、不定積分的概念、不定積分的性質；基本積分表；直接積分法：第一
換元積分法(湊微分法)；常用湊微分公式；第二換元法；分部積分法；有理函數的積分；可
化為有理函數的積分：1．三角函數有理式的積分；2．簡單無理函數的積分。
5. 定積分的概念、定積分的近似計算；定積分加法法則、數乘法則、不等式性質、定積
分中值定理、牛頓—萊布尼茲公式；積分上限的函數及其導數；定積分的換元法積分法和分
部積分法；無窮限的廣義積分、無界函數的廣義積分；無窮限廣義積分的審斂法、無界函數
的廣義積分審斂法、 ?函數定義及其性質。
6. 定積分的微元法、平面圖形的面積、旋轉體的體積、平行截面面積為已知的立體的體
積、平面曲線弧長的概念、平面曲線的弧長的計算、變力沿直線所作的功、水壓力、引力。
7. 常微分方程的概念、方程的階數、線性微分方程、非線性微分方程；微分方程的解（通
解、特解）; 微分方程的積分曲線；可分離變量的微分方程、分離變量法、齊次方程；一階
線性微分方程、常數變易法、伯努利方程；可降階的二階微分方程；二階常系數齊次線性微
分方程及其解法；二階常系數非齊次線性微分方程；歐拉方程；常系數線性微分方程組。
IV. 題型示例及參考答案
一. 填空題（每題 5 分，共 30 分）
1. 函數 2
45
sin
)3lg(
)( xx
x
x
xf ???
?
? 的定義域為_____________.
2. 由方程 1ln ?? yxy 所確定的函數 )(xfy ? 在點 )1,1(M 處的切線方程________.
3. 設函數
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
)2/arcsin(
1
)(
2
tan
xae
x
x
e
xf
x
x
在 0?x 處連續，則 ?a _______.
4. 定積分??
?
1
1
2
)sin|(| dxxxx =__________.
5. ??
??
?
0
3
dxex
x
_______.
6. ?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
t
dte
dx
d
=____________.
二.計算題(每小題 10 分，共 40 分)
1. 求 .
cossec
)1ln()1ln(
lim
22
0 xx
xxxx
x ?
?????
?
2. 設 )1(
)4(
1)1(
2
3
?
?
??
? x
ex
xx
y
x
, 求 y ? .
3. 求由下列方程 )ln()(2 yxyxxy ???? 所確定的函數 )(xyy ? 的二階導數.
.
4. 已知 )( xf 的一個原函數是
2
x
e
?
, 求? ? dxxfx )( .
4
三.證明題(每題 10 分,共 40 分)
1. 證明: 函數 2
2 xxy ?? 滿足關系式 .01
3
????yy
2. 證明方程
0
3
1
2
1
1
1
?
?
?
?
?
? xxx
有分別包含于(1, 2), (2, 3) 內的兩個實根.
3. 證明當 0?x 時, .)1ln(
1
xx
x
x
???
?
4. 若 )(xf 在[0, 1]上連續, 證明
(1) ;)(cos)(sin
2/
0
2/
0 ?? ?
??
dxxfdxxf
(2) ,)(sin
2
)(sin
00 ?? ?
?? ?
dxxfdxxxf 由此計算 .
cos1
sin
0
2? ?
?
dx
x
xx
四. 綜合應用題(每題 10 分,共 40 分)
1. 設工廠 A 到鐵路線的垂直距離為 20km, 垂足為 B. 鐵路線上距離 B 為 100km 處有一原料
供應站 C, 如圖 3-5-4. 現在要在鐵路 BC 中間某處 D 修建一個原料中轉車站, 再由車站 D 向
工廠修一條公路. 如果已知每km 的鐵路運費與公路運費之比為3:5, 那么, D應選在何處, 才
能使原料供應站 C 運貨到工廠 A 所需運費最省?
2. 河水以 秒米 /8
3
的體流量流入水庫中, 水庫形狀是長為 4000 米, 頂角為 ?120 的水槽, 問
水深 20 米時, 水面每小時上升幾米?
水槽橫截面圖水槽橫截面圖
3. 在一個石油精煉廠，一個存儲罐裝 8000L 的汽油，其中包含 100g 的添加劑. 為冬季準備，
每升含 2g 添加劑的石油以 40L/min 的速度注入存儲罐. 充分混合的溶液以 45L/min 的速度
泵出. 在混合過程開始后 20 分鐘罐中的添加劑有多少？
4. 按照以下步驟作出函數 ?? 104
34
??? xxxf 的圖形.
(1) 求 ? ?xf ? 和 ? ?xf ?? ;
(2) 分別求 ? ?xf ? 和 ? ?xf ?? 的零點;
(3) 確定函數的增減性、凹凸性、極值點和拐點;
5
(4) 作出函數 ?? 104
34
??? xxxf 的圖形.
參考答案:
一、填空題
1. ).3,0(}0,1[}0,3,3|{ ???????? xxxxDf
2. )1(
2
1
1 ???? xy ，即 .032 ??? yx
3. 2
4.
2
1
.
5. 6.
6. ?
6
2
3
x
ex
二、計算題
1. 解 先用對數性質化簡分子，得原式 ,
cossec
)1ln(
lim
42
0 xx
xx
x ?
??
?
?
因為當 0?x 時，有 ,~)1ln(
4242
xxxx ???
xx cossec?
x
x
cos
cos1
2
?
?
x
x
cos
sin
2
? .~
2
x 所以原式 2
42
0
lim
x
xx
x
?
?
?
.1?
2. 解 等式兩邊取對數得
,)4ln(2)1ln(
3
1
)1ln(ln xxxxy ???????
上式兩邊對 x求導得
,1
4
2
)1(3
1
1
1'
?
?
?
?
?
?
?
xxxy
y
? .1
4
2
)1(3
1
1
1
)4(
1)1(
' 2
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
xxxex
xx
y x
3. 解 ? ,
'1
)()ln()'1(2'
yx
y
yxyxyy
?
?
??????
?
)ln(2
1
1'
yx
y
??
??
6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)ln(2
1
)''(''
yx
yy 2
)]ln(2[
])ln(2[
yx
yx
??
???
?? 2
)]ln(2)[(
1
yxyx
y
???
??
?? (代入 y ? )
.
)]ln(2)[(
1
3
yxyx ???
?
4. 解 ?? ?? )()( xxdfdxxfx
??? ,)()( dxxfxxf
根據題意 ,)(
2
Cedxxf
x
??
?
? 再注意到 ? ? ),()( xfdxxf ?
?
?
兩邊同時對 x求導，得 ,2)(
2
x
xexf
?
??
?? ???? dxxfxxfdxxfx )()()( .2
22
2
Ceex
xx
????
??
三、證明題
1. 證 對 2
2 xxy ?? 求導，得
)2(
22
1 2
2
???
?
?? xx
xx
y ,
22
1
2
xx
x
?
?
?
2
22
2
)2()1(2)1(
xx
xxxxxx
y
?
?????????
???
2
2
2
2
22
22
)1(2
xx
xx
x
xxx
?
?
?
????
?
22
22
2)2(
)1(2
xxxx
xxx
??
????
?
2/32
)2(
1
xx ?
?? .
1
3
y
??
代入原方程,得 .01
3
????yy 證畢.
2. 證 當 ,3,2,1?x 用 )3)(2)(1( ??? xxx 乘方程兩端，得
.0)2)(1()3)(1()3)(2( ????????? xxxxxx
設 ,)2)(1()3)(1()3)(2()( ????????? xxxxxxxf 則
,02)2()1()1( ??????f ,01)1(1)2( ??????f ,0212)3( ????f
由零點定理知， )( xf 在 )2,1( 與 )3,2( 內至少各有一個零點，即原方程在 )2,1( 與 )3,2( 內
至少各有一個實根.
3. 證 設 ),1ln()( xxf ?? 則 )( xf 在 ],0[ x 上滿足拉格朗日定理的條件. 故
)0)(()0()( ???? xffxf ? ),0( x???
? ,0)0( ?f ,
1
1
)(
x
xf
?
??
從而
??
??
1
)1ln(
x
x ),0( x???
又由 x???? 111 ? ? ,1
1
1
1
1
?
?
?
? ?x
? ,
11
x
x
x
x
?
?
?
? ?
7
即 .)1ln(
1
xx
x
x
???
?
4. 證 (1) 設 tx ??
2
?
? 0, ??? xdtdx ?
2
,
2
??
?? xt ? ,0?t
?
2
0
)(sin
?
dxxf
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0
2
2
sin?
?
dttf ?? 2
0
)(cos
?
dttf ;)(cos2
0??
?
dxxf
(2) 設 tx ?? ? ? 0, ??? xdtdx ? ?? ?? xt , ? ,0?t
?
?
0
)(sin dxxxf
? ????
0
)][sin()(
?
?? dttft ,)(sin)(
0? ??
?
? dttft
?? ??
??
?
00
)(sin)(sin dtttfdttf ,)(sin)(sin
00 ?? ??
??
? dxxxfdxxf
.)(sin
2
)(sin
00 ?? ??
?? ?
dxxfdxxxf
?? ?
?
?
?? ?
0 20 2
cos1
sin
2cos1
sin
dx
x
x
dx
x
xx
? ?
??
??
0 2
)(cos
cos1
1
2
xd
x
? ? .
4442
)arctan(cos
2
2
0
????? ?
??
?
?
?
?
?
?????? x
四、綜合應用題
1. 解 設 xBD? (km), 則 xCD ??100(km), .20
22
xAD ??
鐵路每公里運費 ,3 k 公路每公里 ,5 k 記那里總運費為 y，則有如下函數關系式:
CDkADky ???? 35
即 ).1000()100(34005
2
??????? xxkxky
問題歸結為： x取何值時目標函數 y最小.
求導得 ,3
400
5
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
x
x
ky 令 0??y 得 15?x (km).
由于 .26100)100(,380)15(,400)0( kykyky ???
從而當 15?BD (km)時，總運費最省.
2. 解 設 )(tV 表示水庫在時刻t水的體積, 則有 ,34000)(
2
htV ?
上式兩邊對 t求導得
dt
dh
h
dt
dV
?? 38000
? 28800?
dt
dV
米 3
/小時,
8
?當 20?h 米時, 104.0?
dt
dh
米/小時（水面上升之速率）。
3. 解 令 y是在時刻 t罐中的添加劑的總量. 易知 100)0( ?y . 在時刻t罐中的溶液的
總量
?? ? ? tttV 5800045408000 ?????
因此，添加劑流出的速率為
??
??
?? ??
t
ty
t
ty
tV
ty
58000
45
45
58000 ?
??
?
??溶液流出的速率
添加劑流入的速率 80402 ?? ，得到微分方程
t
y
dt
dy
58000
45
80
?
??
即
80
58000
45
??
?
? y
tdt
dy
于是，所求通解為
? ? ? ?958000
45
58000
45
1600101600080 ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
? tCtCdteey
dt
t
dt
t
由 100)0( ?y 確定 C，得
? ? ? ? 01600001016000
9
????? C ， 8
1600
10
?C ，
故初值問題的解是
? ? ? ?9
8
1600
1600
10
1016000 ???? tty ，
所以注入開始后 20 分鐘時的添加劑總量是
? ? ? ? 58.1512160020
1600
10
201016000)20(
9
8
??????y g.
4. 解 (1) ?? 23
124 xxxf ??? ， ?? xxxf 2412
2
???? .
(2) 由 ?? 0124
23
???? xxxf ，得到 0?x 和 3?x .
由 ?? 02412
2
????? xxxf ，得到 0?x 和 2?x .
(3) 列表確定函數升降區間、凹凸區間及極值和拐點：
x
? ?0,??
0
? ?2,0
2
? ?3,2
3
? ???,3
? ?xf ?
- 0 - 0 - 0 +
9
? ?xf ??
+ 0 - 0 + 0 +
? ?xf
拐點 拐點 極值點
(4) 算出 0?x ， 2?x ， 3?x 處的函數值
? ? 100 ?f ， ? ? 62 ??f ， ? ? 173 ??f .
根據以上結論，用平滑曲線連接這些點，就可以描繪函
數的圖形.
5
1 0
1 5
?
?
?
5
1 0
1 5
? 1 1 2 3 4O x
y
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