2017年江蘇大學602線性代數考研大綱

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1
目錄
I 考查目標........................................................................................ 2
II 考試形式和試卷結構 ..................................................................2
III 考查內容..................................................................................... 2
IV. 題型示例及參考答案.................................................................3
2
全國碩士研究生入學統一考試
線性代數考試大綱
I 考查目標
《線性代數》考試是為我校招收相關專業碩士生而設置的具有選拔性質的考試科目。其
目的是科學、公平、有效地測試考生是否具備必須的基本素質、一般能力和培養潛能，以利
用選拔具有發展潛力的優秀人才入學，為國家的經濟建設培養具有良好職業道德、法制觀念
和國際視野、具有較強分析與解決實際問題能力的高層次、應用型、復合型的專業人才。考
試要求是測試考生是否掌握線性代數最核心的基本理論和基本方法。
具體來說。要求考生：
1．掌握行列式、矩陣的概念及其運算的基本分方法。
2．掌握線性方程組的求解方法。
3．掌握向量的概念、向量組的線性相關性、秩的性質及其運算。
4．掌握二次型的概念及其標準形。
5．掌握向量空間中基變換、坐標變換的基本理論與方法。
II 考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為 150 分，考試時間 180 分鐘。
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
三、試卷內容與題型結構
單項選擇題 5 題，每小題 3 分，共 15 分
填空題 5 題，每小題 3 分，共 15 分
計算與證明題 9 題，共 120 分
III 考查內容
1．行列式的概念及其計算。
2．矩陣的概念、矩陣的運算、矩陣的秩及其計算。
3．向量的概念、向量組的線性相關性、向量組的秩。
4．線性方程組的求解。
5．二次型及其標準形的的概念及其性質。
6．向量空間的概念，向量空間中基變換、坐標變換的概念及其性質。
IV. 題型示例及參考答案
3
一填空與選擇題（3*10=30 分）
1.設 A 為 n 階方陣， 1?n ，若 ? 為實數，則有( )
A. |||| AA
n
?? ? B. |||| AA ?? ?
C. |||||| AA
n
?? ? D. |||||| AA ?? ?
2. A 與 B 是同階方陣，當下列條件( )滿足時，對任意正整數 n 成立 nnn
BAAB ?)(
A. A 與 B 都可逆 B. A 與 B 都對稱
C. BAAB ? D. |||| BA ?
3．設 A 為三階矩陣， a?|| A ，則其伴隨矩陣 *
A 的行列式 ?||
*
A ( )
A. a B. 2
a
C. 3
a D. 4
a
4．若向量組 , ,? ? ? 線性無關，向量組 , ,? ? ? 線性相關，則（）
A.? 必可由 , ,? ? ? 線性表示 B. ? 必不可由 , ,? ? ? 線性表示
C.? 必可由 , ,? ? ? 線性表示 D. ? 必不可由 , ,? ? ? 線性表示
5．如果向量組
?
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c
b
a
321
,
0
1
1
,
0
0
1
??? 線性無關，那么( )
A. a b c? ? B. 0b c? ?
C. 0c ? D. 0?c
6．已知 4 階矩陣 A 的 4 個特征值為 1， 2? ，3，4，則 ?|| A __________
7．已知向量 1
? ＝(1, 2, 3)， ?2
? (3, 2, 1)，則 ?? 21
23 ??
8．設
0 3 4
0 1 2
2 0 0
A
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
，則 A 的伴隨矩陣 *
A 等于
9．線性方程組 0432 4321
???? xxxx 的基礎解系含有________個解向量
10．設 1 2 3 1 2
{ ( , , ) | 2 0}V X x x x x x? ? ? ? ，且 1 2 3
, ,x x x R? ，則該向量空間是________
維向量空間
二（15 分）計算題
4
1.(7 分)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
D ?
2. (8 分)
1
1
a
D
a
? ? ，其中對角線上元素都是a ，未寫出的元素都是0 。
三 (10 分)設 n
??? ,,, 21
? 是一組 n 維向量，已知 n 維單位坐標向量組 n
??? ,, 21
? 可被它
線性表出，證明 n
??? ,,, 21
? 線性無關。
四 (15 分)求向量組 )0,1,1(),1,0,0(),1,1,1(),1,1,1( 4321
??????? ????
的秩及一個最大無關組，并把其余向量用此最大無關組線性表示。
五 (15分)已知 T
)1,1,1( ??ξ 是
2 1 2
5 3
1 2
A a
b
?? ?
? ?
?
? ?
? ?? ?? ?
的一個特征向量，試確定參數 ,a b 。
六（10分） t 取何值時，二次型 323121
2
3
2
2
2
1
4225 xxxxxtxxxx ????? 是正定的。
七 (15 分)求正交變換 X PY? 化二次型
323121
2
3
2
2
2
1321 84444),,( xxxxxxxxxxxxf ?????? 為標準形。
八（10 分）在 4
P 中，求向量 )1,1,2,1(?? 在基
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
?????????? ???? 下的坐標。
九 (15 分)設齊次線性方程組
?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
有非零解，求? 的值，并求通解。
十 (15 分 ) 在 4
P 中，求由基 1 2 3 4
, , ,? ? ? ?到基 4321
,,, ???? 的過渡矩陣，
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
?????????? ????
)1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1( 4321
?????? ????
參考答案
一選擇與填空題（3 分*10=30 分）
1. A 2. C 3．B 4．C 5．D
5
6． 24? 7． 3, 2, 7? 8．
0 0 2
4 8 0
2 6 0
? ?
? ?
?
? ?
? ??? ?
9. 3 10. 2
二、計算題(15 分)
1.
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
D ? =48
2.
2
1
1
n n
a
D a a
a
?
? ? ??
三、(10 分)設 n
??? ,,, 21
? 是一組 n 維向量，已知單位向量 n
??? ,, 21
? 可被它線性表出，
證明 n
??? ,,, 21
? 線性無關。
證明：略
四、(15 分)求向量組 )0,1,1(),1,0,0(),1,1,1(),1,1,1( 4321
??????? ???? 的
秩及一個最大無關組，并把其余向量用此最大無關組線性表示。
解：設矩陣 ),,( 4321
TTTT
，A ????? ，并對 A 施以初等行變換
?
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0000
10
01
~
0000
1120
1011
~
1120
0000
1011
~
0111
1011
1011
2
1
2
1
2
1
2
1
A ，
由行最簡形矩陣可知，向量組的一個極大無關組為 1 2
,? ? ，
3 1 2
4 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
? ? ?
? ? ?
?
? ???
?
? ? ?
??
五、(15分)已知 T
)1,1,1( ??ξ 是
2 1 2
5 3
1 2
A a
b
?? ?
? ?
?
? ?
? ?? ?? ?
的一個特征向量，試確定參數
,a b 。
解：設 ξ 對應的特征值為? ，則有 0)( ?? ξAE? ，即
6
?
?
?
?
?
????
?????
????
.021
,035
,0212
?
?
?
b
a 解得 1,0,3 ????? ?ba 。
六、（10 分）t 取何值時，二次型 323121
2
3
2
2
2
1
4225 xxxxxtxxxx ????? 是正定的。
解：二次型系數矩陣為
?
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?
521
21
11
t
t
A ，二次型正定，即 A 的各階順序主子式為正。
011
??D ， 01
1
1 2
2
???? t
t
t
D ， 045
2
3
????? ttAD ，從而可得
0
5
4
- ?? t
七、(15 分)求正交變換化二次型 323121
2
3
2
2
2
1321 84444),,( xxxxxxxxxxxxf ?????? 為
標準形。
解 f 的矩陣
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
442
442
221
A 。 0)9(
442
442
221
||
2
???
??
???
???
?? ??
?
?
?
?EA
得特征值為對于 9,0 321 ??? ??? 。
?
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??
?
???
000
000
221
~
442
442
221
0 EA 。得對應的特征向量為
?
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0
1
2
1p ，
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??
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1
0
2
2p ，正交化為
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??
5
4
2
5
1
0
1
2
5
4
1
0
2
, 211 bpb ，
單位化為
?
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53
5
53
4
53
2
,
0
5
1
5
2
21 ee 。
7
對于 93 ?? ，得對應的特征值為
?
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?
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?
?
??
2
2
1
3p ，單位化為
?
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??
3
2
3
2
3
1
3e 。
所以，二次型在正交變換
?
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?
3
2
1
3
2
1
3
2
53
5
0
3
2
53
4
5
1
3
1
53
2
5
2
y
y
y
x
x
x
之下，標準形為 2
39 yf ? 。
八、（10 分）在 4
P 中，求向量 )1,1,2,1(?? 在基
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
?????????? ???? 下的坐標。
解：設? 基 4321
,,, ???? 下的坐標為 ),,,( 4321
xxxx ，則有
????? ???? 44432211
xxxx ，從而
?
?
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?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
4
1
4
1
4
1
4
5
1000
0100
0010
0001
~
11111
11111
21111
11111
，坐標為 ? ?1115
4
1
??
九、(15 分)設齊次線性方程組
?
?
?
?
?
???
???
???
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
有非零解，求? ，并求通解。
解： 22
)1(111
111
11
11
????????? ?????
?
A ，令 0|| ?A ，則 1?? 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
111
111
111
111
，所以通解為
?
?
?
?
?
?
?
???
23
12
211
cx
cx
ccx
十、 (15 分 ) 在 4
P 中，求由基 1 2 3 4
, , ,? ? ? ?到基 4321
,,, ???? 的過渡矩陣，
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
?????????? ???? ;
)1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1( 4321
?????? ????
8
解：(1)令
1 1 1 1 1 2 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1
,
1 1 1 1 0 3 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1
A B
? ? ? ?
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? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ?
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? ? ?? ? ? ?
，
1
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
A
?
? ?
? ?
? ?
? ??
? ?? ?
? ?
? ?? ?
,
則從 4321
,,, ???? 到 4321
,,, ???? 的過渡矩陣 1
3 7 2 1
1 1 2 31
1 3 0 14
1 1 0 1
P A B B
?
?? ?
? ?
?
? ?? ? ?
? ?? ?
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? ?? ?

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上一篇文章： 2017年江蘇大學601數學分析考研大綱

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