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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：[ ] 考試科目名稱：實變函數
一、考試形式與試卷結構
1)試卷成績及考試時間：
本試卷滿分為 100 分，考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
（一）測度論與可測函數部分 40%
（二）Lebesgue 積分與不定積分部分 60%
4)題型結構
a: 計算題，2 小題，每小題 11 分，共 22 分
b: 證明題，6 小題，每小題 13 分，共 78 分
二、考試內容與考試要求
（一）測度論與可測函數部分
1、n 維歐式空間中的點集
考試內容：開集、閉集的構造、分離定理
考試要求：
? 要求考生熟練掌握開集閉集的概念及其構造定理。
? 要求考生理解 Cantor 集。
? 要求考生熟練掌握分離定理。
2、測度論
考試內容：Lebesgue 外測度，可測集、可測集類
考試要求：
? 測度的定義和性質；
? 掌握 Lebesgue 外測度和測度的定義和基本性質；
? 練掌握由卡拉皆屋鐸利給出可測集的定義及可測集的基本運算性
質。
? 掌握零測集的性質；開集、閉集的可測性；
? 了解特殊的兩類集合，波雷耳集。
3、可測函數
考試內容：可測函數及其性質，幾乎處處收斂，葉果洛夫定理，可測函數的
構造，依測度收斂
考試要求：
? 熟練掌握可測函數及其四則運算，可測函數與簡單函數的關系，幾
乎處處成立的概念；
? 理解葉果洛夫定理；
? 理解并掌握魯津定理及其逆定理；
? 熟練掌握依測度收斂的定義，幾乎處處收斂與依測度收斂的幾個反
例，Riese 定理和 Lebesgue 收斂定理
（二）Lebesgue 積分與不定積分部分
1、Lebesgue 積分的概念與性質
考試內容：勒貝格積分的定義，勒貝格積分的性質，一般可積函數，積分的
極限定理
考試要求：
? 理解勒貝格積分的定義，掌握可積的兩個充要條件；可積的四則運
算， 勒貝格積分與 Riemann 積分的關系；
? 熟練掌握勒貝格積分的基本性質和絕對連續性；
? 熟練掌握一般可積函數的 L 積分的定義和初等性質。
? 牢記勒貝格控制收斂定理，列維定理，L 逐項積分定理，積分的可
數可加性，Fatou 引理及有關積分與求導交換的定理。
2、微分和不定積分
考試內容：有界變差函數、絕對連續函數
考試要求：
? 熟練掌握有界變差的定義，理解 Lebesgue 定理；
? 充分理解絕對連續函數，并理解絕對連續函數與不定積分的關系。
三、參考書目
[1] 江澤堅等編《實變函數論》（第 3 版），高等教育出版社，2007 年第 3 版 .
[2] 程其襄等編《實變函數與泛函分析基礎》，高等教育出版社，2003 年第 2 版 .
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