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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼： 考試科目名稱：常微分與偏微分方程
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
常微分方程部分 50% 偏微分方程部分 50%
4)題型結構
A: 填空題，10 小題，占 40%
B: 計算題，4 小題， 占 40%
C: 證明題, 2 小題， 占 20%
二、考試內容與考試要求
（一）常微分方程部分
1、常微分方程的基本概念
考試內容
常微分方程的導出及基本概念
考試要求
(1) 理解如何用微分方程解決實際問題；了解積分曲線和方向場概念。
(2) 掌握常微分方程定義, 階數, 線性和非線性, 解和隱式解，通解和特
解，方程和方程組，定解條件和定解問題。
2、一階微分方程的初等解法
考試內容
變量分離方程與變量變換、線性方程及常數變易法、恰當方程與積分因子、
一階隱方程與參數表示
考試要求
(1) 掌握變量分離方程的解法，掌握可化為變量分離方程類型的解法，理
解齊次、非齊次概念。
(2) 熟練掌握線性方程的常數變易法。
(3) 掌握解恰當方程的積分因子法。
(4) 掌握一階隱方程和貝努利方程的解法。
3、一階微分方程的解的存在定理
考試內容
解的存在唯一性定理與逐步逼近辦法、解的延拓、解對初值的連續性和可
微性定理、奇解
考試要求
(1) 掌握 Picard 逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。
(2) 理解解的延拓，連續性，可微性，唯一性。
(3) 掌握奇解的概念及相關定理。
4、高階微分方程
考試內容
線性常微分方程的一般理論、常系數線性方程的解法、高階方程的講解和
冪級數解法。
考試要求
(1) 熟悉線性微分方程的一般理論，會用常數變易法解非齊線性方程.
(2)掌握常系數線性方程的解法（會區分齊次與非齊次方程解之間的關
系），了解拉普拉斯變換法。
(3)理解掌握高階方程的降階和冪級數解法。
5、線性微分方程組
考試內容
存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數線性微分方程組
考試要求
(1)理解存在唯一性定理、掌握線性微分方程組的一般理論。
(2)掌握 Picard 逼近方法，基解矩陣的求法，非齊線性微分方程組的常數
變易公式。
(3)了解矩陣指數的定義及性質、掌握基解矩陣的計算公式及拉普拉斯變
換的應用。
6、非線性微分方程和穩定性
考試內容
零解的穩定性、相平面、按線性近似決定微分方程組的穩定性
考試要求
(1)掌握零解的幾種穩定性概念，會區分在不同條件下的穩定性。
(2)掌握二維線性微分方程孤立奇點的分類，并畫出相圖。
(3)掌握按線性近似判定奇點的分類與穩定性。
（二）偏微分方程部分
1、方程的導出和定解問題
考試內容
偏微分方程的基本概念；三類典型方程的導出；偏微分方程定解問題的提
法與適定性問題；疊加原理；二階線性偏微分方程的化簡與分類
考試要求
（1）了解偏微分方程的概念，掌握定解條件的提法、定解問題及定解問題
適定性。
（2）掌握二階線性偏微分方程的化簡與分類，會將兩個自變量的二階線性
偏微分方程化成標準型。
2、波動方程與行波法
考試內容
(1)一維波動方程初值問題: 達朗貝爾公式；依賴區域、決定區域與影響
區域；無界弦的受迫振動與齊次化原理；半無界弦的振動問題
(2)三維波動方程初值問題和球面波：三維波動方程球對稱解；三維波動
方程的 Possion 公式及物理意義；非齊次方程初值問題
(3)二維波動方程的初值問題及降維法
考試要求
（1）了解如何用達朗貝爾公式求解初值問題；了解依賴區域、影響區域
及決定區域；能熟練應用達朗貝爾公式、Possion 公式、及降維法求
解二維波動方程。
（2）能熟練應用能量不等式證明初值問題解的唯一性及連續依賴性。
（3）能利用延拓法求解半無限長振動方程初邊值問題。
（4）能利用齊次化原理求解非齊次方程初值問題。
3、分離變量法
考試內容
(1)齊次方程和齊次邊界條件的定解問題：波動方程的初邊值問題、熱傳
導方程的初邊值問題、圓域內拉普拉斯方程的邊值問題
(2)非齊次方程的定解問題
(3)非齊次邊界條件的處理
考試要求
（1）會利用分離變量法求解齊次方程和齊次邊界條件的定解問題。
（2）會利用特征函數展開求解非其次方程定解問題。
（3）會處理非齊次邊界條件定解問題。
4、積分變換法
考試內容
(1)Fourier 變換：Fourier 變換的理論基礎及性質
(2) Fourier 變換的應用：熱傳導方程初值問題的解法、半無界問題、三
維熱傳導方程初值問題、弦振動方程的 Fourier 變換解法
(3)Laplace 變換的引入及性質
考試要求
（1）了解 Fourier 變換定義及性質、了解 Laplace 變換的定義及性質、卷
積的定理及性質。
（2）會應用 Fourier 變換求解某些初值問題。
（3）會應用 Laplace 變換求解某些初邊值問題。
5、調和方程與格林函數法
考試內容
Laplace 方程定解問題的提法、 Green 公式和應用、調和方程基本解和
解的積分表達式、Green 函數的性質及一些特殊區域上的 Green 函數和
Dirichlet 問題的解；拉普拉斯方程的極值原理與應用
考試要求
（1）掌握 Laplace 方程定解問題的提法：第一邊值問題、第二邊值問題及
第三邊值問題、內問題及外問題。
（2）掌握 Green 公式， 了解調和方程的基本解及基本積分表達式。
（3）理解 Green 函數的性質及會應用一些特殊區域上的 Green 函數求解
Dirichlet 問題的解。
（4）能應用拉普拉斯方程極值原理證明解的唯一性及連續依賴性。.
6、拋物型方程
考試內容
熱傳導方程的極值原理與應用、熱傳導方程的能量方法與應用
考試要求
（1）會利用熱傳導方程的極值原理證明解的唯一性及連續依賴性。
（2）會利用熱傳導方程能量方法證明解的適定性。
三、參考書目
[1] 《常微分方程》，王高雄編，高等教育出版社
[2] 《數學物理方程》，陳才生編，東南大學出版社
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