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《數學分析》考試大綱
科目名稱：數學分析
科目代碼： 617
《數學分析》是數學專業研究生必考的科目，總分值為 150 分，
考試時間為 3 個小時。
本科目考試的基本知識以華東師范大學數學系編寫的《數學分
析》（第三版）為基礎，除去帶*號的內容（包括：第六章§7 方程
的近似解；第七章§1 三實數完備性基本定理的等價性，§3 上極限
與下極限；第九章§6 可積性理論補敘；第十章§6 定積分的近似計
算）不考，其余內容都是考試所要求掌握的。
參考書目：
[1] 華東師范大學數學系,數學分析（第三版）,高等教育出版社，2008
年 4 月；
[2] 陳守信，數學分析選講，機械工業出版社，2009 年 9 月.
參考題型：河南工業大學 2014 年碩士研究生入學考試試題（見
附頁）。
附頁
河南工業大學
2014 年碩士研究生入學考試試題
考試科目： 數學分析 共 2 頁（第 1 頁）
一、(24 分，每小題 8 分) 計算下列極限：
1. 1
2
1 1
lim 1 )
n
n n n
?
? ??
? ?（ ； 2.
2
0
1 cos
lim
1 cosx
x
x?
?
?
；
3. lim sin sin sin ).
n ? ??
? ? ??2 2 2
1 2 n
（
n n n
二、( 48 分，每小題 12 分) 計算下列各類積分：
1.
1
2 sin
I dx
x
?
??
?
?
? ；
2.
2 sin
y
x
I dy dx
x
? ?
? ??
? ? ? ；
3. 第二型曲線積分 2 2C
xdy ydx
x y
?
?
?? ，其中C 為任意簡單閉曲線，逆時針為正向；
4. 利用奧高公式計算
( ) ( ) ( )
s
I x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy? ? ? ? ? ? ? ? ???? ，
其中 S 是八面體 1x y z y z x z x y? ? ? ? ? ? ? ? ? 的外側.
三、(36 分，每小題 12 分) 完成下列各題
1.(12 分) 按步驟做出函數
2
3
( 1)y x x? ? 的圖像．
2. 求冪級數
1
1 1
( 1) (1 )
2
n n
n
x
n
?
?
? ? ? ?? ? 的收斂域．
3. 設 ( , )z z x y? 是由方程組
, ,
u v u v
x e y e z uv
? ?
? ? ? ，
確定的函數，求當 0, 0u v? ? 時的
2
,dz d z ．
共 2 頁（第 2 頁）
四、(42 分) 完成下列證明題
1. (10 分) 若函數 ( )f x 在[ , )a ? ? 上連續， lim ( )
x
f x
? ??
存在，則 ( )f x 在[ , )a ? ? 上一
致連續.
2. (10 分) 設二元函數 f 在圓周 2 2 2
:C x y a? ? 上連續，證明：存在C 的一條直徑的
兩個端點 A 與 B ，使得 ( ) ( )f A f B? ．
3. (10 分) 證明方程
0
ln 1 cos 2
x
x xdx
e
?
? ? ?? 在 0 ? ?（ ， ）內有且僅有兩個實根．
4. (12 分) 證明函數
2
2 2
2 2
2 2
, 0
( , )
0, 0
x y
x y
x yf x y
x y
?
? ??
?? ?
?
? ??
在原點(0, 0) 處連續，且存在
偏導數，但在 (0, 0) 處不可微．
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