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2017 年碩士研究生入學考試自命題科目考試大綱
科目代碼：827 科目名稱：實變函數
一. 考試要求
主要考查學生對集與點集的理解與掌握；對 Lebesgue
測度的理解與掌握；對可測函數的理解與掌握；對 Lebesgue
積分的理解與掌握；對 L
P
空間的理解與掌握；以及運用基本
理論和方法，分析解決問題的能力。
二、考試內容
1．集與點集
掌握集合的各種運算；理解映射的像、原像的概念及其
運算性質；了解集的對等、勢的概念及其性質，會證明可數
集的基本問題；掌握一維開集、閉集的性質以及內點、極限
點、稠密性等若干概念；熟悉康脫集的構造及性質。
2．Lebesgue 測度
理解外測度的概念與性質，了解內測度的定義，掌握可
測集的定義；掌握可測集與測度的性質；了解不可測集的存
在性；掌握生成類的概念與性質，了解外測度擴張方法。
3．可測函數
理解可測函數的概念，掌握函數可測的證明方法；理解
“幾乎處處”的概念；掌握幾乎處處收斂、依測度收斂、近
一致收斂的特征、性質以及它們之間的關系；理解 Riesz 定
理與葉果洛夫定理，并掌握其證明方法；理解可測函數的構
造，掌握魯津定理。
4．Lebesgue 積分
理解 Lebesgue 積分的定義，掌握 Lebesgue 積分的基本
性質；掌握證明積分基本問題的方法；掌握積分三大極限定
理及其基本用法；了解函數常義 R 可積的充要條件，理解 R
積分與 L 積分的關系，并會用來計算一類 R 積分值與 L 積分
值；理解單調函數、有界變差函數的性質、掌握全連續函數
的基本性質、特征及應用；了解 Fubini 定理及應用。
5. LP
空間
理解 L
P
空間及其上范數的定義，掌握 H?lder 不等式與
Minkowski 不等式；理解 L
P
空間中基本點列、強收斂點列的
概念及其相互關系，了解點列弱收斂的概念；理解完備性、
稠密性、可分性的概念，理解當 ??? p1 時，L
P
空間是完備空
間，當 ???? p1 時，L
P
空間是可分空間，掌握完備性與可分性
的用法。
三、考試形式
考試形式為閉卷、筆試，考試時間為 3 小時，滿分 150
分。
題型包括：填空題、證明題、計算題等。
四、參考書目
鄭維行，王聲望 編．實變函數與泛函分析概要（第一冊）.
第四版．北京：高等教育出版社，2010.
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