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湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱
考試科目代碼：[ ] 考試科目名稱：數值分析
一、試卷結構
1) 試卷成績及考試時間
考試時間為 180 分鐘。
2)答題方式：閉卷、筆試
3)試卷內容結構
數值分析 100%
4)題型結構
a: 計算題，約 40%
b: 證明題，約 30%
c: 綜合題，約 30%
二、考試內容與考試要求
1、緒論
考試內容
絕對誤差 絕對誤差限 相對誤差 相對誤差限 有效數字 誤差傳播 算法穩
定性 減少誤差傳播的途徑。
考試要求
（1） 了解科學研究的三種主要方法：實驗，理論，科學計算；
（2） 了解三大誤差；
（3） 理解算法存在數值穩定性問題；
（4） 了解幾種誤差，誤差運算法則，數值計算的若干原則。
2、插值逼近
考試內容
Lagrange 插值 Newton 插值 誤差估計 差分 差分表 均差表 Hermite 插值
樣條函數插值 分段低次多項式插值。
考試要求
（1） 掌握拉格朗日插值多項式的構造方法、唯一性、余項及唯一性和余項表
達式的證明；
（2） 理解差商的概念，掌握牛頓插值多項式、余項及余項表達式的證明；
（3） 了解差分概念及等距節點插值多項式的有關知識；
（4） 掌握埃爾米特插值多項式的構造方法、余項及余項表達式的證明；
（5） 了解插值多項式之間的改進關系從而掌握該思想方法。
3、最佳逼近
考試內容
離散最小二乘逼近 最佳平方逼近 正規方程組 正交多項式 最佳平方逼近
最佳一致逼近基本原理。
考試要求
（1） 掌握離散最小二乘逼近、最佳平方逼近的基本原理，正規方程組的形成
以及求解；
（2） 掌握正交多項式的基本性質及與最佳平方逼近的關系；
（3） 掌握幾類基本的正交多項式及正交化手續；
（4） 了解最佳一致逼近的基本原理及某些簡單的最佳一致逼近問題；
4、數值微積分
考試內容
數值求積 代數精度 插值型求積公式 Newton-Cotes 求積公式 復化求積公
式 Romberg 算法 Gauss 求積公式 復化梯形公式 復化 Simpson 公式 截斷誤差
誤差公式 兩點數值微分公式 三點數值微分公式 誤差階 插值型求導公式。
考試要求
（1） 掌握數值求積的基本思想、代數精度的概念與插值型求積公式的性質；
（2） 熟練地利用 Newton-Cotes 求積公式、各種復化求積公式、Romberg 算
法和 Gauss 求積公式計算數值積分；
（3） 掌握復化梯形公式和 Simpson 公式的誤差分析方法及公式；
（4） 掌握兩點數值微分公式、三點數值微分公式及其誤差階；
（5） 了解插值型求導公式的基本思想。
5、常微分方程數值解法
考試內容
常微分方程初值問題 Euler 方法 Runge-Kutta 方法。
考試要求
掌握求解常微分方程初值問題的 Euler 方法、Runge-Kutta 方法。
6、方程求根
考試內容
非線性方程求根 二分法 迭代法的收斂性 收斂速度 Newton 法 弦截法 收
斂階 Newton 法的收斂性。
考試要求
（1） 了解非線性方程求根的二分法；
（2） 掌握迭代法的收斂性及收斂速度的定義；
（3） 掌握 Newton 法、弦截法的計算格式、幾何意義以及相應的收斂階；
（4） 了解 Newton 法收斂性證明的基本思路。
7、解線性方程組的直接方法
考試內容
線性方程組 高斯消元法 矩陣的三角分解 LU 分解法 全主元素消去法 列主
元素消元法 高斯-若當消去法 平方根法 追趕法 向量范數 矩陣范數 方程組
的性態 方程的穩定性。
考試要求
（1） 掌握求解線性方程組的高斯消元法和列主元素消元法；
（2） 能靈活地運用 LU 分解法、平方根法和追趕法求解相應類型的線性代數
方程組；
（3） 掌握向量范數、矩陣范數的基本概論與性質；
（4） 了解方程組的性態及穩定性。
8、解線性方程組的迭代法
線性方程組 Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代法 SOR 迭代法 迭代法的
收斂性。
考試要求
（1） 掌握方程組迭代解法的基本思想以及相關的收斂性判斷定理；
（2） 理解用正交相似變換約化矩陣；
（3） 掌握求解線性代數方程組的 Jacobi 迭代法、Gauss -Seidel 迭代法和
SOR 迭代法的計算格式；
（4） 掌握運用相關定理判斷上述算法求解實際問題時的收斂性。
9、矩陣的特征值與特征向量計算
考試內容
計算矩陣特征值 特征向量 冪法 反冪法。
考試要求
（1） 掌握計算矩陣的按模最大特征值和相應特征向量的冪法；
（2） 掌握計算矩陣的按模最小特征值和相應特征向量的反冪法。
三、參考書目
[1] 李慶揚，王能超，易大義編，《數值分析》（第四版），華中科技大學出版社
（獲教育部高等學校優秀教材二等獎，全國優秀暢銷書獎）。
[2] 全惠云，鄒秀芬，康立山，謝資清，何迎生編，《數值分析與應用程序》及
所帶軟件包。
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